解三角形常见题型题型一、三角形基本量的求解问题【例1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos B＋bcos A＝ac，sin 2A＝sin A.(1)求A及a；(2)若b－c＝2，求BC边上的高．【方法技巧】用正、余弦定理求解三角形基本量的步骤及方法【变式训练】1．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＋bcos A＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，b＝2，求边c的长． 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b－ccos A－asin C＝0.(1)求角C的值；(2)若c＝2，b＝2a，求△ABC的面积S.3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2b－c)cos A＝acos C.(1)求角A；(2)若a＝，△ABC的面积为3，求△ABC的周长. 题型二：求解三角形中的最值与范围问题【例2】在：①a＝csin A－acos C，②(2a－b)sin A＋(2b－a)sin B＝2csin C这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝，而且________．(1)求角C；(2)求△ABC周长的最大值．【方法技巧】利用正、余弦定理等知识求解与三角形有关的最值、范围问题，一般是指先运用正、余弦定理进行边角互化，然后通过三角形中相关角的三角恒等变换等，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数的单调性或基本不等式等来处理．破解此类题的关键点如下：定基本量根据题意或几何图形理清三角形中的边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本变量，确定基本变量的变化范围构建函数将待求范围的变量，根据正、余弦定理或三角恒等变换转化为基本变量的函数关系式求最值、范围利用基本不等式或函数的单调性、有界性等求最值、范围【变式训练】1．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(c－acos B)＝b.(1)求角A；(2)若a＝2，求△ABC面积的取值范围．2．已知△ABC的面积为S，且＝S，|－|＝3.(1)若f(x)＝2cos(ωx＋B)(ω>0)的图象与直线y＝2的两个相邻交点间的距离为2，且f()＝1，求△ABC的面积S；(2)求S＋3cos Bcos C的最大值．题型三：以平面几何为载体的解三角形问题【例3】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90，∠A＝45，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC.【方法技巧】求解与三角形相关的平面几何问题的策略一般先将所给的图形拆分成若干个三角形，根据已知条件确定解三角形的先后顺序，再根据各个三角形之间的关系，交叉使用公共条件，求得结果，同时注意相关平面几何知识的应用．【变式训练】1．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝，求CD的长.2．如图，在平面四边形ABCD中，∠D＝，sin ∠BAC＝cos ∠B＝，AB＝13．(1)求AC；(2)求四边形ABCD面积的最大值． 【课后巩固】1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.(1)求A；(2)若a＋b＝2c，求sin C.2．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,2cos C(acos C＋ccos A)＋b＝0.(1)求角C的大小；(2)若b＝2，c＝2，求△ABC的面积． 3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90，点D，E分别在边AB，BC上，CD＝5，CE＝3，且△EDC的面积为3．(1)求边DE的长；(2)若AD＝3，求sin A的值．4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin ＝bsin A.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围. 5．如图，在△ABC中，AB＝3，∠ABC＝30，cos∠ACB＝.(1)求AC的长；(2)作CD⊥BC，连接AD，若AD∶CD＝2∶3，求△ACD的面积．6．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且asin A＋b(sin A＋sin B)－csin C＝0.(1)求角C；(2)若c＝2，求a＋b的取值范围． 7．△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2a－2ccos B．(1)求角C的大小；(2)求cos A＋sin的最大值，并求出取得最大值时角A，B的值．8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，若b＝，________．请从下面的三个条件中任选一个，两个结论中任选一个，组成一个完整的问题，并给出解答．条件：①asin＝bsin A；②bsin A＝acos；③a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B.结论：①求△ABC的周长的取值范围；②求△ABC的面积的最大值．注：如果选择多组条件与结论分别解答，按第一组计分． 解三角形大题题型一、三角形基本量的求解问题【例1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos B＋bcos A＝ac，sin 2A＝sin A.(1)求A及a；(2)若b－c＝2，求BC边上的高．解：(1)∵acos B＋bcos A＝ac，∴由正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝asin C，∴sin(A＋B)＝asin C，又A＋B＝π－C，∴sin C＝asin C，又sin C＞0，∴a＝.∵sin 2A＝sin A，∴2sin Acos A＝sin A，又sin A＞0，∴cos A＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)由(1)及余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2－bc＝7.将b＝c＋2，代入b2＋c2－bc＝7，得c2＋2c－3＝0，解得c＝1或c＝－3(舍去)，∴b＝3.∵＝，∴sin C＝＝，设BC边上的高为h，则h＝bsin C＝.【方法技巧】用正、余弦定理求解三角形基本量的步骤及方法【变式训练】1．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＋bcos A＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，b＝2，求边c的长．解：(1)因为asin B＋bcos A＝0，所以sin Asin B＋sin Bcos A＝0，即sin B(sin A＋cos A)＝0，由于B为三角形的内角，所以sin A＋cos A＝0，所以sin＝0，而A为三角形的内角，所以A＝.(2)在△ABC中，a2＝c2＋b2－2cbcos A，即20＝c2＋4－4c，解得c＝－4(舍去)或c＝2.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b－ccos A－asin C＝0.(1)求角C的值；(2)若c＝2，b＝2a，求△ABC的面积S.解：(1)∵a＋b－ccos A－asin C＝0，∴由正弦定理得，sin A＋sin B－sin Ccos A－sin Asin C＝0.∵B＝π－(A＋C)，∴sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，∴sin A＋sin Acos C＋cos Asin C－sin Ccos A－sin Asin C＝0，∴sin A＋sin Acos C－sin Asin C＝0.∵A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴1＋cos C－sin C＝0，即sin C－cos C＝1，2＝1，即sin＝.∵0＜C＜π，∴－＜C－＜，∴C－＝，∴C＝.(2)∵C＝，c＝2，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得(2)2＝a2＋b2－2abcos，即12＝a2＋b2－ab.∵b＝2a，∴12＝a2＋4a2－a2a，∴3a2＝12，即a2＝4.∵a＞0，∴a＝2，∴b＝2a＝4，∴△ABC的面积S＝absin C＝24＝2.3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2b－c)cos A＝acos C.(1)求角A；(2)若a＝，△ABC的面积为3，求△ABC的周长.解 (1)因为(2b－c)cos A＝acos C，所以(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，即2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)，由A＋B＋C＝π，得2sin Bcos A＝sin B，因为sin B≠0，所以cos A＝，因为0