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1、11.3 子群,子群就是群的子代数子群的定义子群的三个判定方法重要子群的实例生成群、中心找到有限群的全部子群的方法,子群的定义,定义11.8 设G是群，H是G的非空子集，如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群(subgroup)，记作 HG。若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群(proper subgroup)，记作 HG。说明：对任何群G都存在子群。G和e都是G的子群，称为G的平凡子群(trivial subgroup) 。 举例：nZ（n是自然数）是整数加群Z,+的子群。当n1时,nZ是Z的真子群。,子群的判定定理一,定理11.5（判定定理一）设G为群，H是G的非空子集。H是G
2、的子群当且仅当下面的条件成立：(1) a,bH，有 abH。(2) aH，有 a-1H。证明：必要性是显然的。为证明充分性，只需证明eH。（为什么？）因为H非空，必存在aH。由条件(2)可知，a-1H，再使用条件(1)有 aa-1H，即eH。,子群的判定定理二,定理11.6（判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集。H是G的子群当且仅当a,bH有ab-1H。证明：必要性。任取a,bH，由于H是G的子群，必有b-1H，由封闭性有 ab-1H。充分性。因为H非空，必存在aH。根据给定条件得 aa-1H，即eH。任取aH，由e,aH 得 ea-1H，即a-1H。任取a,bH，由刚才的证明知 b-1H
3、。再利用给定条件得a(b-1)-1H，即 abH。综合所述，根据判定定理一，可知 H是G的子群。,子群的判定定理三,定理11.7(判定定理三) 设G为群，H是G的非空子集。如果H是有穷集，则H是G的子群当且仅当 a,bH有abH。证明：必要性是显然的。充分性。只需证明 aH有a-1H。任取aH，若ae，则a-1e-1eH。若ae,令 Sa,a2,，则SH。由于H是有穷集，必有aiaj（i1，由此得aj-i-1ae 和 aaj-i-1e从而证明了 a-1aj-i-1H。,子群实例生成子群,例11.12 设G为群，aG，令Hak|kZ，即a的所有的幂构成的集合，则H是G的子群，称为由a生成的子群，
4、记作。证明：由a知道，。,任取am,al，,则am(al)-1,ama-l,am-l,根据判定定理二可知G。举例(1)整数加群，由2生成的子群是2k|kZ2Z(2)群中，由2生成的子群由 200，212，224，23=0，构成， 即 0,2,4(3)Klein四元群Ge,a,b,c的所有生成子群是： e，e,a，e,b，e,c。,子群实例中心,例11.13 设G为群，令C是与G中所有的元素都可交换的元素构成的集合，即Ca|aGxG(axxa)则C是G的子群，称为G的中心。 证明：由e与G中所有元素的交换性可知，eC。C是G的非空子集。任取a,bC，为证明ab-1C，只需证明ab-1与G中所有的
5、元素都可交换。xG，有,(ab-1)x,ab-1x,ab-1(x-1)-1,a(x-1b)-1,a(bx-1)-1,a(xb-1),(ax)b-1,(xa)b-1,x(ab-1),由判定定理二可知，CG。,中心的说明,对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互相都可交换，G的中心就等于G。但是对某些非交换群G，它的中心是e。,例11.14 ,例11.14 设G是群，H,K是G的子群。证明(1) HK也是G的子群。(2) HK是G的子群当且仅当 HK 或 KH。证明：(1) 由eHK 知 HK非空。任取a,bHK，则 aH，aK，bH，bK。由于H和K是G的子群，必有 ab-1H 和 ab-1K，从而
6、推出 ab-1HK。根据判定定理二，命题得证。,例11.14（2）,(2) HK是G的子群当且仅当 HK 或 KH。充分性是显然的。必要性，用反证法。假设 HK 且 KH，那么存在h和k使得hHhK 并且 kKkH这就推出 hkH。若不然，由h-1H可得 kh-1(hk)H，与假设矛盾。同理可证，hkK。从而得到 hkHK。这与HK是子群矛盾。,如何找到有限群的全部子群,第0层：e是G的平凡子群，也是最小的子群，放在第0层。第1层：任取aG，ae，则是a由生成的子群。如果G且不存在是的真子群，则将放在第1层。 如果G中所有的非单位元生成的子群都等于G，则构造结束，并将G放在第1层。 如果a,b
7、G，ab，但，这时取（或）。第2层：如果在第1层，并且G中存在其它元素b满足，同时不存在元素c使得，那么放在第2层。 此外，第2层还包含有第1层的子群的并集生成的更大的子群。,如何找到有限群的全部子群,任取第1层的两个子群H1,H2，令BH1H2，如果H1H2，H1H2 ,那么H1H2不是G的子群，而只是G的子集，将G的所有包含B的子群的交记作，即H|BHHG。易见是G的子群，称为由B生成的子群，中的元素恰为如下形式：a1a2ak,kZ+其中ai是B中元素或B中元素的逆元。不难证明，是包含了H1和H2的最小子群。按照这样的方法，构造，如果G且第2层不存在其他子群是的真子群，则将放在第2层。从而
8、由第1层的子群生成第2层的所有子群。当然，不同的子群可能会生成相同的新子群。按照这种办法继续下去，每层构造时先检查是否还有单元素生成的新子群，然后利用前一层子群的并集生成新子群。由于G是有限群，经过有限步生成后，总可得到最高层的唯一的平凡子群G，这时构造过程结束。,如何找到有限群的全部子群,例如：Ge,a,b,c是Klein四元群，根据上述的构造性方法得到G的全部子群如下：第2层 G第1层 e,a, e,b, e,c第0层 e例如：GZ60,1,2,3,4,5，模6加群。则G的全部子群如下：第2层 G第1层 0,2,4, 0,3 第0层 0,如何找到有限群的全部子群,设G为群，令SH|H是G的
9、子群，在S上定义关系R如下：A,BS,ARB A是B的子群那么构成偏序集，称为群G的子群格。 Klein四元群G与模12加群Z12的子群格如图所示。,本节主要内容及学习要求,主要内容子群的定义。子群的三个判定定理及其应用。典型子群：由元素生成的子群,群G的中心C，若干个子群的交集。学习要求会证明群的子集是子群。了解几个典型子群的定义。,11.4 陪集与拉格朗日定理,本节主要讨论群的分解陪集的定义、实例、性质拉格朗日定理,陪集,定义11.9 设H是G的子群，aG。令Haha|hH称Ha是子群H在G中的右陪集(right coset)。称a为Ha的代表元素。,实例：设Ge,a,b,c是Klein四
10、元群，He,a是G的子群。H所有的右陪集是：Hee,aH Haa,eH Hbb,c Hcc,b不同的右陪集只有两个，即H和b,c。,陪集的实例,设A1,2,3,f1,f2,f6是A上的双射函数。其中,f1,f2,f3,f4,f5,f6,令Gf1,f2,f6，则G关于函数的复合运算构成群。考虑G的子群Hf1,f2。做出H的全体右陪集如右面所示：,Hf1f1f1,f2f1f1,f2HHf2f1f2,f2f2f2,f1HHf3f1f3,f2f3f3,f5Hf4f1f4,f2f4f4,f6Hf5f1f5,f2f5f5,f3Hf6f1f6,f2f6f6,f4,易见，不同的右陪集只有三个，每个右陪集都是G
11、的子集。,陪集的基本性质,定理11.8 设H是群G的子群，则(1) HeH。(2) aG有 aHa。证明：,(1) He,he|hH,h|hH,H,(2) 任取aG，,由aea和eaHa 得aHa。,定理11.9,定理11.9 设H是群G的子群，则a,bG 有aHb ab-1H HaHb证明：先证 aHb ab-1H。,aHb, h(hHahb), h(hHab-1h), ab-1H,定理11.9,反之，任取h1bHb，则有,再证：aHb HaHb。,充分性。若HaHb，,由aHa可知，必有aHb。,必要性。由aHb可知，,存在hH 使得ahb，即bh-1a。,任取h1aHa，则有,h1ah1
12、(hb),(h1h)bHb,从而得到 HaHb。,h1bh1(h-1a),(h1h-1)aHa,从而得到 HbHa。综上所述，HaHb得证。,定理11.9的说明,该定理给出了两个右陪集相等的充分必要条件，并且说明在右陪集中的任何元素都可以作为它的代表元素。在例11.15中， Hf1,f2f3,f5, Hf3f1f3,f2f3f3,f5Hf5f1f5,f2f5f5,f3可以看出f3Hf5，所以 Hf3Hf5。同时有f3f5-1f3f6f2H,定理11.10,定理11.10 设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：a,bG，R ab-1H则R是G上的等价关系，且aRHa。证明：先证明R为G上的等价
13、关系。任取aG,由aa-1eH R可知R在G上是自反的。任取a,bG，则,R, ab-1H, (ab-1)-1H, ba-1H, R,所以R是对称的。,定理11.10,baR,任取a,b,cG，则,RR, ab-1Hbc-1H, ac-1R, R,所以R是传递的。综上所述，R是G上的等价关系。下面证明：aG,aRHa。任取bG，则有, R, ab-1H,根据定理11.9有,ab-1H, HaHb, bHa,这就推出 baR bHa，从而证明了aRHa。, (ab-1)(bc-1)H,定理11.10推论,推论 设H是群G的子群，则(1)任取a,bG，HaHb 或 HaHb(2)Ha|aGG 证明
14、：由定理11.10和7.14可得。重要结果：给定群G的一个子群H，H的所有右陪集的集合Ha|aG恰好构成G的一个划分。举例：考虑Klein四元群Ge,a,b,c，He,a是G的子群。H在G中的右陪集是H和Hb，其中Hbb,c。那么H,Hb构成了G的一个划分。,定理11.11,定理11.11 设H是群G的子群，则aG，HHa,证明：,令f:HHa，f(x)xa。,任取haHa，,hH，使得 f(h)ha，,因而f是满射的。,假设 f(h1)f(h2)，,那么有 h1ah2a。,根据消去律得 h1h2，因而f是单射的。因此， HHa。,右陪集,H的右陪集定义，即Haha|hH，aG右陪集的性质：1
15、.HeH2.aG，aHa 3.a,bG，aHbab-1H HaHb4.若在G上定义二元关系R，a,bG,Rab-1H则R是G上的等价关系，且aRHa。5.aG，HHa。,H的左陪集定义，即aHah|hH，aG左陪集的性质：1.eHH2.aG，aaH 3.a,bG，abH b-1aH aHbH4.若在G上定义二元关系R，a,bG,Rb-1aH则R是G上的等价关系，且aRaH。5.aG，HaH。,左陪集,左陪集举例,群Gf1,f2,f6。令Hf1,f2，则H在G中的全体左陪集如下：,f1Hf1f1,f1f2f1,f2Hf2Hf1f2,f2f2f2,f1Hf3Hf3f1,f3f2f3,f6f4Hf4
16、f1,f4f2f4,f5f5Hf5f1,f5f2f5,f4f6Hf6f1,f6f2f6,f3,和H的右陪集相比较,不难看出有 Hf1f1H，Hf2f2H，Hf3f3H，Hf4f4H，Hf5f5H，Hf6f6H结论：一般来说，对于群G的每个子群H不能保证有HaaH。但是对某些特殊的子群H，aG都有HaaH，称这些子群为G的正规子群。,Hf1f1f1,f2f1f1,f2HHf2f1f2,f2f2f2,f1HHf3f1f3,f2f3f3,f5Hf4f1f4,f2f4f4,f6Hf5f1f5,f2f5f5,f3Hf6f1f6,f2f6f6,f4,左右陪集个数相等,令 SHa|aG TaH|aG分别表示H的右陪集和左陪集的集合，定义： f:ST，f(Ha)a-1H，aG 可以证明f是S到T的双射函数。对a，bG 有,HaHb, ab-1H, (ab-1 )-1H, (b-1)-1a-1H, a-1Hb-1H,这说明对于任意的HaS，必有唯一的f(Ha)T与之对应，即f是函数。同时可知：若f(Ha)f(Hb)，必有HaHb，即f是单射。,任取bHT，,则Hb-1S，,且有f(Hb-1)(b-1)-
