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1、第八章 第 5 节第 5 节空间中的垂直关系最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为动身点，熟悉和懂得空间中线面垂直的有关性质与判定定理； 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简洁命题 .知 识 梳 理1.直线与平面垂直1直线与平面垂直的定义假如一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点 O的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面相互垂直2直线与平面垂直的判定定理及其推论.文字语言图形语言符号语言假如一条直线与平面内的两条相交直判定定理线垂直，就这条直线与这个平面垂直a. b. abO l al b. l假如在两条平行直线中，有一条垂直于推论 1平面，那么
2、另一条直线也垂直于这个平a b. ba 面假如两条直线垂直推论 2于同一个平面， 那么a. abb这两条直线平行2.直线和平面所成的角1定义：一条斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角，一条直线垂直于平面，就它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，就它们所成的角是 0的角.第 6页2 .2范畴： 0，3. 二面角(1) 定义：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2) 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. 3二面角的范畴： 0，.4. 平面与平面垂直(1) 平
3、面与平面垂直的定义假如两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线相互垂直，就称这两个平面相互垂直.(2) 平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言假如一个平面过另一个判定定理平面的一条垂线，就这两个平面相互垂直假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直ll. . l. 性质定理于它们交线的直线垂直于另一个平面 a la. l常用结论与微点提示 1.一个重要结论如一条直线垂直于一个平面， 就它垂直于这个平面内的任何一条直线证明线线垂直的一个重要方法 .2. 使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误会为“假如一条直线垂直于平面内的很多条直线
4、，就垂直于这个平面”.3. 线线、线面、面面垂直间的转化诊 断 自 测1. 摸索辨析 在括号内打“”或“” (1) 直线 l 与平面 内的很多条直线都垂直，就 l.(2) 垂直于同一个平面的两平面平行 .(3) 如两平面垂直，就其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. 4如平面 内的一条直线垂直于平面 内的很多条直线，就.解析 1直线 l 与平面 内的很多条直线都垂直，就有l 或 l 与 斜交或 l. 或 l ，故1错误.(2) 垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故2错误.(3) 如两个平面垂直，就其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也
5、可能在另一平面内，故3错误.(4) 如平面 内的一条直线垂直于平面 内的全部直线，就 ，故4错误.答案 1 2 3 42.教材习题改编 以下命题中不正确选项 A. 假如平面 平面 ，且直线 l平面 ，就直线 l平面 B. 假如平面 平面 ，那么平面 内肯定存在直线平行于平面 C. 假如平面 不垂直于平面 ，那么平面 内肯定不存在直线垂直于平面D. 假如平面 平面 ，平面 平面 ， l，那么 l解析 依据面面垂直的性质， A 不正确，直线 l平面 或 l. 或直线 l 与 相交.答案 A3.2021 湖南六校联考 已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下面给出的条件中肯定
6、能推出m的是 A. 且 m. B.mn 且 nC.m n 且 nD.m n 且 解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C 正确.答案C4.2021 全国卷在正方体ABCD A 1B 1C1D1 中， E 为棱 CD 的中点，就 A.A1 E DC1C.A1 E BC1B.A1EBDD.A1EAC解析如图，由题设知， A1B1平面 BCC 1B1 且 BC1. 平面BCC1B1，从而 A1B1BC1.又 B1CBC 1，且 A1B1B1CB1，所以 BC1平面 A1B1CD，又A1E. 平面 A1B1CD，所以 A1EBC1.答案 C5.边长为 a 的正方形 .ABCD 沿对角线B
7、D 折成直二面角，就折叠后AC 的长为解析 如下列图，取 BD 的中点 O，连接 AO，CO，就 A OC是二面角 ABD C 的平面角，即AOC90.又 AOCO 2 a，2ACa22 2 a，即折叠后 AC 的长AC为 a.a2答案 a考点一线面垂直的判定与性质【例 1】 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD ，ABAD，AC CD， ABC 60， PA ABBC，E 是 PC 的中点.证明：1CD AE； 2PD平面 ABE.证明 1在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD ，CD. 平面 ABCD，PACD，又 AC CD，且 PAACA，CD平面 PAC.又
8、AE. 平面 PAC，CDAE .2由 PAABBC， ABC 60，可得 ACPA.E 是 PC 的中点， AEPC.由1知 AE CD，且 PC CD C，AE平面 PCD.又 PD. 平面 PCD， AEPD.PA底面 ABCD ，AB. 平面 ABCD， PAAB .又 ABAD，且 PAAD A，AB平面 PAD，又 PD. 平面 PAD，ABPD.又 ABAEA， PD平面 ABE .规律方法1.证明直线和平面垂直的常用方法有：1判定定理； 2垂直于平面的传递性 ab，a. b ；3面面平行的性质a，. a；4面面垂直的性质 ，a，l a， l. . l .2. 证明线面垂直的核心
9、是证线线垂直，而证明线线垂直就需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.【训练 1】 如下列图，已知 AB 为圆 O 的直径，点 D 为线段3DBAB 上一点，且 AD1，点 C 为圆 O 上一点，且 BC 3AC，PD平面 ABC，PDDB .求证： PACD.证明 由于 AB 为圆 O 的直径，所以 AC CB.在 Rt ABC 中，由3ACBC 得， ABC 30 .设 AD1，由 3AD DB 得， DB 3，BC23.由余弦定理得 CD2DB 2BC22DBBCcos 30 3，所以 CD2 DB2BC2，即 CDAB .由于 PD平面 ABC
10、，CD. 平面 ABC，所以 PDCD，由 PDABD 得， CD平面 PAB， 又 PA. 平面 PAB，所以 PA CD.考点二面面垂直的判定与性质【例 2】 如图，在四棱锥 P ABCD 中， ABCD，AB AD，第 6页CD2AB ，平面 PAD底面 ABCD ，PAAD ，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点， 求证：1PA底面 ABCD ； 2BE平面 PAD；3平面 BEF 平面 PCD.证明 1平面 PAD底面 ABCD，且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD， PA. 平面 PAD，PA底面 ABCD .(2) AB CD，CD2AB ，E 为 CD 的中点，ABDE
11、 ，且 ABDE .四边形 ABED 为平行四边形 .BEAD.又 BE.平面 PAD， AD. 平面 PAD，BE平面 PAD.(3) AB AD，而且 ABED 为平行四边形 .BECD， AD CD，由1知 PA底面 ABCD ，CD. 平面 ABCD ，PACD，且 PAAD A，PA，AD. 平面 PAD，CD平面 PAD，又 PD. 平面 PAD，CDPD.E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，PDEF .CDEF ，又 BECD 且 EF BEE，CD平面 BEF ，又 CD. 平面 PCD，平面 BEF 平面 PCD.规律方法1.证明平面和平面垂直的方法： 1面面垂直的定
12、义； 2面面垂直的判定定理.2.已知两平面垂直时， 一般要用性质定理进行转化， 在一个平面内作交线的垂线，第 9页转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练 2】 2021 北京卷 如图，在三棱锥 PABC 中， PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点.(1) 求证： PABD；(2) 求证：平面 BDE 平面 PAC；(3) 当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 E BCD 的体积. 1证明 PA AB， PA BC，AB. 平面 ABC， BC. 平面 ABC，且 ABBCB，PA平面 ABC，又 BD. 平面 ABC， PA BD. 2证明 ABBC，D 是 AC 的中点，BDAC.由1知 PA平面 ABC， PA. 平面 PAC，平面 PAC平面 ABC.平面 PAC平面 ABCAC，BD. 平面 ABC， BDAC，BD平面 PAC.BD. 平面 BDE ，平面 BDE 平面 PAC， 3解 PA平面 BDE ，又平面 BDE 平面 PACDE ，PA. 平面 PAC，PADE .由1知 PA平面 ABC， DE平面 ABC.D 是 AC 的中点， E 为 PC 的中点，1DE 2PA1.D 是 AC 的中点，SBCD 1S21ABC11 22221，11VEBCD 3 S BCD DE 3
