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1、专题12 三角函数的图像与性质（正弦函数、余弦函数和正切函数）重难点突破一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理考点一 正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在(kZ)上是递增函数，(kZ)上是递减函数在2k2k(kZ)上是递增函数，在2k，2k(kZ)上是递减函数在(kZ)上是递增函数周期性周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是2周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是2周期是k(kZ且k0)，最小正周期是对称性对称轴是xk(kZ)，对称中心是(k，0)(kZ)对称轴是xk(kZ)，对称中心是(k
2、Z)对称中心是(kZ)考点二函数yAsin(x)的图象1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)“五点法”作图原理：在正弦函数ysin x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)在余弦函数ycos x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1). (2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)2函数yAsin(x)的有关概念yAsin(x)振幅周期频率相位初相(A0，0)ATf3.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xx2yAsin(x)0A0A04.由函数y
3、sin x的图象变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法三、重难点题型突破重难点题型突破1 三角函数的定义域与周期求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解例1、（1）函数的定义域为_（2）函数的定义域为（ ）ABCD【变式训练1-1】求下列函数的定义域.（1）；（2）.例2、函数，的最小正周期是（）A12B6CD【变式训练2-1】、函数，的最小正周期为（）ABCD4重难点题型突破2 三角函数的单调性及最值1、三角函数单调性的求法(1)形如yAsin(x)的函数的单调性问题，一般是将x看成一个整体，再结合图象利用ysin x的单调性求
4、解；(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性2、求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)c的形式，再求值域(最值)(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)(3)形如yasin3xbsin2xcsin xd，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值例3、（1）函数的值域_（2）函数，当_时有最小值，最小值是_.【变式训练3-1】、函数ycos的单调递减区间为_【变式训练3-2】、已知函数最小正周期为，图象过点.（1）
5、求函数解析式（2）求函数的单调递增区间.重难点题型突破3 三角函数的对称性（奇函数、偶函数与对称轴、对称中心）1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式 2.函数具有奇偶性的充要条件函数yAsin(x)(xR)是奇函数k(kZ)；函数yAsin(x)(xR)是偶函数k(kZ)；函数yAcos(x)(xR)是奇函数k(kZ)；函数yAcos(x)(xR)是偶函数k(kZ)例4、（1）函数f(x)的最小正周期为()A.B.C D2（2）已知函数f(x)3sin(2x)，(0，)(1)若f(x)为偶函数，则_；(2)
6、若f(x)为奇函数，则_.【变式训练4-1】若点是函数的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（）A的最小正周期是B的值域为C的初相D在上单调递增【变式训练4-2】函数的图像的一条对称轴方程为（）ABCD【变式训练4-3】设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在上单调递减重难点题型突破4 三角函数的图像及其应用例5（多选题）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）ABC是函数的一条对称轴D是函数的对称轴心【变式训练5-1】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（
7、）ABCD【变式训练5-2】如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是（）ABCD【变式训练5-3】已知函数（1）求函数的最小值和最大值及相应自变量x的集合；（2）求函数的单调递增区间；（3）画出函数区间内的图象例6将函数ysin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()AysinBysinCysinDysin【变式训练6-1】、（多选题）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A的最小正周期为B在区间上单调递减C不是函数图象的对称轴D在上的最小值为【变式训练6-2】(本小题满分12分)已知
8、函数f（x）sin（x）cosx+cos2x（0）的最小正周期为（1）求的值；（2）将函数yf（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数yg（x）的图象，求函数g（x）在区间0，16上的最小值课堂定时训练（45分钟）1函数图像的一条对称轴方程为（）ABCD2如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是（）ABCD3已知函数，则下列结论不正确的是（ ）A.是的一个周期B.C.的值域为RD.的图象关于点对称4函数的定义域是（）A.B.C.D.5下列函数中，最小正周期为的是（ ）ABCD5（多选题）将函数y4sin x的图象向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，得到函数yf
9、(x)的图象，下列关于yf(x)的说法正确的是()Ayf(x)的最小正周期为4B由f(x1)f(x2)0可得x1x2是的整数倍Cyf(x)的表达式可改写成f(x)4cosDyf(x)的图象关于中心对称6已知函数，则的最小正周期是_；的对称中心是_7函数的最小正周期为_；单调递增区间为_8函数的最大值为，最小值为，则的最小正周期为_.9已知函数（1）用五点法作出函数的简图；（2）写出函数的值域与单调区间.10已知函数.(1)求函数的最大值以及相应的x的取值集合；(2)若直线是函数的图像的对称轴，求实数m的值.专题12 三角函数的图像与性质（正弦函数、余弦函数和正切函数）重难点突破 答案解析一、知
10、识结构思维导图二、学法指导与考点梳理考点一 正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在(kZ)上是递增函数，(kZ)上是递减函数在2k2k(kZ)上是递增函数，在2k，2k(kZ)上是递减函数在(kZ)上是递增函数周期性周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是2周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是2周期是k(kZ且k0)，最小正周期是对称性对称轴是xk(kZ)，对称中心是(k，0)(kZ)对称轴是xk(kZ)，对称中心是(kZ)对称中心是(kZ)考点二函数yAsin(x)的图象1用五点法作正弦函数和余
11、弦函数的简图(1)“五点法”作图原理：在正弦函数ysin x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)在余弦函数ycos x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1). (2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)2函数yAsin(x)的有关概念yAsin(x)振幅周期频率相位初相(A0，0)ATf3.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xx2yAsin(x)0A0A04.由函数ysin x的图象变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法三、重难点
12、题型突破重难点题型突破1 三角函数的定义域与周期求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解例1、（1）函数的定义域为_【答案】【解析】解不等式，可得，因此，函数的定义域为.故答案.（2）函数的定义域为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，所以故函数的定义域为 ，选D。【变式训练1-1】求下列函数的定义域.（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）要使函数有意义，必须使.由正弦的定义知，就是角的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数.角的终边应在轴或其上方区域，.函数的定义域为.（2）要使函数有意义，必须使有意义，且.函数的定义域为.例2、函数，的最小正周期是（）A12B6CD【答案】A【解析】函数的最小正周期为：.故选：A【变式训练2-1】、函数，的最小正周期为（）ABCD4【答案】C【解析】，则函数的最小正周期为故选：重难点题型突破2 三角函数的单调性及最值1、三角函数单调性的求法(1)形如yAsin(
