《(完整)[2018年最新整理]弹性力学简明教程(第四版)-课后习题解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整)[2018年最新整理]弹性力学简明教程(第四版)-课后习题解答（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 【3-1】为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2-15） ，而在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15） ，将会发生什么问题？【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往比较困难。 这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来
2、代替精确的应力边界条件（公式2-15） ，就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。【3-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足，试证： 在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。【解答】 区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件。研究对象整体的外力是满足平衡条件的， 其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。【3-3】如果某一应力边界问题中有m 个主
3、要边界和n 个小边界，试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？【解答】在m 个主要边界上，每个边界应有2 个精确的应力边界条件，公式（2-15） ，共 2m 个；在 n 个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有2n 个；如果不能满足公式（ 2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2 个精确应力边界条件，共3n 个。【3-4】试考察应力函数3ay在图 3-8 所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计 )? 【解答】相容条件: 不论系数a 取何值，应力函数3ay总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). 求应力分量当体力
4、不计时，将应力函数代入公式 (2-24)，得6,0,0 xyxyyxay考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. xylOh图3-82 左右边界上；当 a0 时，考察x分布情况，注意到0 xy，故 y 向无面力左端 :0()6xxxfay0yh00yxyxf右端 :6xxx lfay(0)yh()0yxyx lf应力分布如图所示，当lh?时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢， 主矩xyOxfxf主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。偏心距 e：因为在A 点的应力为零。设板宽为b，集中荷载 p 的偏心距e：2()0/6/6xAppeehbhbh
5、同理可知，当ah 的浅梁，修正项很小，可忽略不计。【3-13】图 3-14 所示的悬臂梁，长度为l，高度为h，lh?，在上边界受均布荷载q，试检验应力函数523322AyBx yCyDxEx y能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。【解答】用半逆解法求解。（1）相容条件：将应力函数代入相容方程式（2-25） ，得120240AyBy要使满足相容方程，应使15AB（a）（2）求应力分量，代入式（2-24）32323322206620306222102262302xyxyAyBx yCyAyAx yCyByDEyAyDEyBxyExAxyEx（b）（3）考察边界条件在主要边界2yh上，应精确
6、到满足应力边界条件32()0,20yyhAhDEh10即-8（c）32(),2yyhqAhDEhq10即8（d）22()0,20yxyhAxhEx30即4（e）联立式（ a） 、 （c） 、 （d） 、 （e） ，可得：18 333,544qqqqADEBhhh（f）在次要边界0 x上，主矢和主矩都为零，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：/20/ 2()0hxxhdy满足条件5/2/ 2330/ 2/ 2()(206)002hhxxhhAhydyAyCy ydyCh（g）/20/2()0hxyxhdy满足将 A 的值带入（ g） ，得C=10qh（h）将各系数代入应力分量表达式（b）
7、 ，得222233223(46)5(134)23(14)2xyxyyyxqhhhqyyhhq xyhh【3-14】矩形截面的柱体受到顶部的集中力2F 和力矩M 的作用（图3-15 ），不计体力， 试用应力函数233AyBxyCxyDy求解其应力分量。【解答】采用半逆解法求解。(1) 相容条件：将应力函数代入相容方程(2-25)，显然满足。(2) 求应力分量：将代入（ 2-24）226603xyxyACxyDyBCy（a）(3) 考察边界条件。在主要边界/ 2yb上，应精确满足应力边界条件/20yyb满足19 2/ 23,4xyybqBCbq（b）在次要边界x=0 上，可用圣维南原理，写出三个积
8、分应力边界条件/20/ 2()bxxbdyF/ 22/ 2(23)bbAyDyF（c）/ 20/ 2()bxxbydyM/223/2122bbAyDyM（d）/2/2bxybxodyF/ 23/ 2bbByCyF（e）联立（ b） 、 （c） 、 （d） 、 （ e）式得2FAb，132FBqb，22FCqbb，32MDb（f）将各系数据（f）代入式（ a） ，得应力分量解答2322121201362xyxyFFMqxyybbbbFFqqybbb【分析】本题题目中原教材给出的坐标轴有误，无法计算。x，y 坐标互换后可以计算，但计算结果与题目提示解答几乎完全不同，又将 y 轴调为水平向左为正方向
9、，才得到提示结果。可见， 在求解问题时， 坐标轴的方向及原点的位置与解答关系密切，坐标轴不同可得到完全不同的结果。【3-15】挡水墙的密度为1，厚度为 b(图 3-16)，水的密度为2，试求应力分量。【解答】（1）假设应力分量的函数形式。因为在/2yb边界上，0y；/ 2yb边界上，2ygx，所以可以假设在区域内y为yxfy（2）推求应力函数的形式。由y推求的形式22yxfyx212xfyfyx20 3126xfyxfyfy（3）由相容方程求应力函数。将代入40，得44342124442206d fd fxd fd fxxdydydydy要使上式在任意的x 处都成立，必须43244254321
10、1424322240( );20( );1060( )d ffyAyByCyDdyd fd fABfyyyGyHyIydydyd ffyEyFydy代入即得应力函数的解答，其中已经略去了与应力无关的一次项，得应力函数为：354323232()()()6106xAyByAyByCyDxGyHyIyEyFy（4）由应力函数求应力分量，将代入公式（ 2-24） ，注意体力1,0 xyfg f，求得应力分量表达式2332212322222432226236223232223xxyyxyBf xxAyxAyByCyHyEyFgxf yx AyByCyDxxABAyByCyyGyHyIx y（5）考察边界
11、条件在主要边界/ 2yb上，应精确满足应力边界条件3222/ 232/ 222432/ 28420 0842330 02432124yy byybxyybbbbgxx ABCDgxbbbxABCDxbbbbABbCABGHbIm21 由上式得到2304bABbC4323032124bbbABGHbIm求解各系数，得2223231,0,022Ag BCg Dg Hbb223164bbIgG(a) 在次要边界0 x上，列出三个积分的应力边界条件/ 2/ 20/ 2/ 200 00 0bxbxbxbxdyFydyE2/ 22/ 200 804bxybxbbdyIgG(b) 由式 (a)、(b)解出2
12、21,8010bIg Ggb将各系数代入应力分量的表达式，得33222133323232222323452312233341080 xyxygggx yxyxygxbbbyygxbbyyybgxgybbbby【3-16】试分析简支梁受均布荷载时，平截面假设是否成立？【解答】 弹性力学解答和材料力学解答的差别是由于各自的解法不同。简言之， 弹性力学的解法是严格考虑区域内的平衡微分方程、几何方程和物理方程。以及在边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答较精确。而在材料力学的解法中，没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似的解答。例如， 材料力学引用了平面截面假设而简化了几何关系，但这个假设对于一般的梁是近似的。所以，严格地说，平截面假设不成立。22 【3-17】试证明刚体位移00,uv和0实际上表示弹性体中原点的平移和转动分量，并应用 3-3 的解答加以验证（注：微分体的转动分量12vuxy）【解答】 为了区分原点的转动分量与任意点处的转动分量，定义原点的转动分量为0，任意点处的转动分量为。由 3-3 可知，任意点处的平动分量为：00220022MuxyyuEIMMvyxxvEIEI则任意点处的转动分量为12xy0012MMxxEIEI0MxEI因此，原点的平动和转动分量，即x=y=0 时000,uu vv得证。
