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1、全国各地中考数学试卷分类汇编专项十一 开放探索型问题12. (山东日照，12，3分)如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；依次作下去，那么第n个正方形AnBnCnDn的边长是 OA1B1C1D1ABA2B2C2D2A. B. C. D. 解析：设正方形A1B1C1D1的边长为x，那么AC1= C1D1= D1 B =x,故3x=1，x=；同理，正方形A2B2C2D2的边长为，故可猜测第n个正方形AnBnCnDn的边长是.解答：选B点评：正方
2、形A1B1C1D1的边长.河北省25,10分25、本小题总分值10分如图14，A-5,0，B(-3,0)，点C在y轴的正半轴上，CBO=45，CDAB，CDA=90，点P从点Q4,0出发，沿x轴向左以每秒1个的速度运动，运动时间为t秒1求点C的坐标；2当BCP= 15时，求t的值；3以点P为圆心，PC为半径的P随点P的运动而变化，当P与四边形ABCD的边或边所在直线相切时，求t的值。【解析】在直角三角形BCO中，CBO=45OB=3，可得OC=3，因此点C的坐标为0,3；2BCP= 15，只是提及到了角的大小，没有说明点P的位置，因此分两种情况考虑：点P在点B的左侧和右侧；3P与四边形ABCD
3、的边或边所在直线相切，而四边形有四条边，肯定不能与AO相切，所以要分三种情况考虑。【答案】解1BCO=CBO=45 OC=OB=3又点C在y轴的正半轴上， 点C的坐标为0,32分2当点P在点B右侧时，如图2.假设BCP=15，得PCO=30，故OP=OCtan30=此时4分当点P在点B左侧时，如图3，由. BCP=15得PCO=60故PO=OCtan60=3， 此时t=4+3t的值为4+或4+36分3由题意知，假设P与四边形ABCD的边都相切，有以下三种情况：当P与BC相切于点C时，有BCP=90，从而OCP=45，得到OP=3，此时t=17分当P与CD相切于点C时，有PCCD，即点P与点O重
4、合，此时t=48分当P与AD相切时，由题意，DAO=90， 点A为切点，如图4，于是0分【点评】此题主要是分情况讨论和解直角三角形的应用，在今后的教学中多渗透考虑问题要全面不重不漏，培养学生优秀的学习品质。有一定难度。河北省26,12分26、本小题总分值12分如图15-1和图15-2，在ABC中，AB=13，BC=14，。探究 如图15-1，AHBC于点H，那么AH=_，AC=_，ABC的面积SABC=_。拓展 如图15-2，点D在AC上可以与点A、C重合，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD=x，AE=m，CF=n，当点D与点A重合时，我们认为SABC=01用含x，m或n的代
5、数式表示SABD及SCBD；2求m+n与x的函数关系式，并求m+n的最大值和最小值；3对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围。发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小不必写出过程，并写出这个最小值。【解析】探究 根据三角函数和勾股定理可以很快求出AH和AC 的值，进而求出三角形的面积。拓展1利用所给数据，写出表示两个三角形面积的代数式；2利用1中的式子，用x表示m和n，再求m+n的值。点D在AC上，BD的长度可以认为是点D到AC的距离，所以当BDAC时，x最小，是三角形AC边上的高，最大值是BC的长度，容易求出的最大值和最小值；3根据垂线段最
6、短和轴对称可知，点D唯一时，只能是点D是垂足时和点D在点A关于垂足的对称点的下方时两种情况。发现 满足条件的直线就是AC所在直线，A、B、C三点到这条直线的距离之和的最小值就是m+n的最小值。【答案】解：探究12 15 843分拓展1由三角形面积公式得，4分2由1得， m+n=5分由于AC边上的高为 x的取值范围为m+n随x的增大而减小， 当x=时，m+n的最大值为15；7分当x=14时，m+n的最小值为12. 8分3x的取值范围是或10分发现AC所在的直线11分最小值为12分【点评】此题为探究题型，前半局部难度较小，在确定x的取值范围时，学生不容易想到；第3中x的取值范围也不容易想到，是此题
7、的难点。探究就是上边知识点的一个应用，相对来说简单一些。整体来说，此题难度偏难，有一定挑战性。24. 湖北省恩施市，题号24 分值12如图12，抛物线y-x2bx与一直线相交于A-1,0，C2,3两点，与y轴交与点N。其顶点为D。1求抛物线及直线A、C的函数关系式；2设点M3，m，求使MN+MD的值最小时m的值；3假设抛物线对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上任意一点，过E作EFBD，交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？假设能，求点E的坐标；假设不能，请说明理由；4假设点P是该抛物线上位于直线AC上方的一动点，求APC面积的最大值【解析】1直接将A、C两点的坐
8、标代入y-x2bx和y=kx+b即可。2此题实质是在直线x=3上找一点M使MN+MD的值最小。作N关于x=3的对称点，连接D N1，求直线D N1和x=3的交点可得m的值；3BD、EF是平行四边形的邻边，分点E在线段AC和线段AC或CA延长线上两种可能来考虑。BD长可求，EF=BD，点F和点E横坐标相同，点F纵坐标等于点E纵坐标加或减BD长度，设点Ex,y，那么点F坐标x,y+3或(x,y-3),代入抛物线表达式可求解；4作CQx轴于Q，作PGx轴，交AC于H，那么点H和点P横坐标相同，设二者横坐标为x，根据直线与抛物线表达式可用分别表示出相应纵坐标，进而用x表示PH的长度，根据PAC面积等于
9、PHAQAQ为定值可讨论其最值。【答案】解：设直线AC的解析式为:y=kx+n，点 A-1,0，C2,3在AC上，可得： 解得:k=1,n=1AC的解析式为：y=x+1; 把A-1,0，C2,3y-x2bx解得b=2,c=3,抛物线的解析式为y= -x22x3，N0,3D1,4.(2) 作N关于x=3的对称点N1，连接DN1，那么N16,3.设直线D N1的解析式为y=px+q，那么有：，p=，q=,D N1的解析式y=x+，当M3，m在D N1上时，MN+MD的值最小，m=3+=；3易知B(1,2)，又D1,4BD=2.因为点E在AC上，设点Ex,x+1,1当点E在线段AC上时，点Fx.x+
10、3，代入y= -x22x3，得x+3=-x22x3，解得x=0或=1不符合题意舍去，E；2当点E在线段AC或CA延长线上时，点Fx.x-1，代入y= -x22x3，得x-1=-x22x3，解得x=，所以E,E(,)综上所述，当点E0, 1、,或(,)时以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形；4作CQx轴于Q，作PGx轴，交AC于H。设Hx,x+1，那么Px, -x22x3,所以PH=-x22x3-x+1= -x2+ x+2，又SPAB=SPAH+ SPBH=PHAQ=-x2+ x+23=x-2+，APC面积的最大值是。的交点可得m的值；【点评】此题是存在性探索性问题，在解决这一类存在性
11、探索问题时主要应注意：首先假定这个数学对象已经存在，根据数形结合的思想，将其构造出来；然后再根据条件与有关性质一步步地进行探索，如果探索出与条件相符的结果，就肯定存在，否那么不存在，探索过程就是理由.此题主要考查了用待定系数法求解析式、勾股定理、解方程组等，用到的数学数学有函数思想、方程思想、数形结合思想、对称思想、分类讨论思想等，题目综合性强、难度大，但是考查的知识面较广，是一个区分度很大题目。28湖南衡阳市，28，10如下图，抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为2，1，点Pa，b在抛物线上运动点P异于
12、点O1求此抛物线的解析式2过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，求证：PF=PR；是否存在点P，使得PFR为等边三角形？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由；延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断RSF的形状解析：1根据题意能判断出点O是矩形ABCD的对角线交点，因此D、B关于原点对称，A、B关于x轴对称，得到A、D的坐标后，利用待定系数法可确定抛物线的解析式2首先根据抛物线的解析式，用一个未知数表示出点P的坐标，然后表示出PF、RF的长，两者进行比拟即可得证；首先表示RF的长，假设PFR为等边三角形，那么满足PF=PR=FR，列式求解即可；根据的
13、思路，不难看出QF=QS，假设连接SF、RF，那么QSF、PRF都是等腰三角形，先用SQF、RPF表示出DFS、RFP的和，用180减去这个和值即可判断出RSF的形状答案：解：1抛物线的顶点为坐标原点，A、D关于抛物线的对称轴对称；E是AB的中点，O是矩形ABCD对角线的交点，又B2，1A2，1、D2，1；由于抛物线的顶点为0，0，可设其解析式为：y=ax2，那么有：4a=1，a=抛物线的解析式为：y=x22证明：由抛物线的解析式知：Pa， a2，而Ra，1、F0，1，那么：那么：PF=a2+1，PR=a2+1PF=PR由得：RF=；假设PFR为等边三角形，那么RF=PF=FR，得：=a2+1，即：a4a23=0，得：a2=4舍去，a2=12；a=2， a2=3；存在符合条件的P点，坐标为2，3、2，3同可证得：QF=QS；在等腰SQF中，1=180SQF；同理，在等腰RPF中，2=180RPF；QSBC、PRBC，QSPR，SQP+RPF=1801+2=360SQFRPF=90SFR=18012=
