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1、第三节 数列的极限,一、概念的引入,二、数列的定义,三、数列的极限,四、数列极限的性质,正六边形的面积,正十二边形的面积,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：三国时期的数学家刘徽在九章算术 注中讲到,刘徽,一、概念的引入,例如,二、数列的定义,注意：,1. 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是一个特殊的函数,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,三、数列的极限,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,几何解释:,其中,数
2、列极限的定义未给出求极限的方法.,证明,所以,注意：,证明,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,证明,证明,1.有界性,例如,有界；,无界.,四、数列极限的性质,定理1 收敛的数列必定有界.,证明,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,2.唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限.,证明,由定义,故收敛数列极限唯一.,证明,证明,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,3.子数列,刘徽,刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学
3、史上，也占有杰出的地位他的杰作九章算术注和海岛算经，是我国最宝贵的数学遗产,刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人 刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生他虽然地位低下，但人格高尚他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富,九章算术约成书于东汉之初，共有246个问题的解法他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法在几何方面，提出了割圆术，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法他利用割圆术科学地求出了圆周率=3.14的结果刘徽在割圆术中提出的割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣，这可视为中国古代极限观念的佳作,海岛算经一书中, 刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目,
