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1、 探索三角形全等的条件学法指导一、掌握三角形全等的判定方法判定三角形全等主要有以下方法:(1)三条边对应相等的两个三角形全等(简记为:SSS);(2)两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为:ASA);(3)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为:AAS);(4)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为:SAS).3图1ADBCE124ABDC图2容易发现,判定三角形全等,要有三组元素对应相等,且其中至少要有一组对应边相等.应注意,没有“AAA”和“SSA”的判定方法,这是因为“三个角对应相等的两个三角形”和“两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形”
2、未必全等,前者是显然的,如图1,ABC和ADE中,A=A,1=3,2=4,即三个角对应相等,但它们只是形状相同而大小并不相等,故它们不全等;至于后者,如图2,ABC和ABD中,AB=AB,AC=AD,B=B,即两条边及其中一条边的对角对应相等,但它们并不全等.弄清这些事实,既可牢固地掌握三角形全等的判定方法,又能尽量减少直至避免解(证)题时的错误.注意:能清楚地认识不存在“角角角(AAA)”和“边边角(SSA)”的判定方法图2DBCACDEB图1A我们知道对于一般三角形,“有三个角对应相等的两个三角形不一定全等(AAA)”和“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等(SSA)”.如
3、图1,在和中,则,但和显然不全等;又如图2,在和中,但和显然也不全等.明确了不存在“角角角(AAA)”和“边边角(SSA)”的判定方法,可以帮助我们避免一些错误的出现.二、熟悉全等三角形的基本图形图3图4全等三角形的基本图形大致有如下几种:1.平移型 如图3、图4所示的图形属于平移型图形. 它们可看成是由对应相等的边在同一直线上移动所构成的,故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而证得.图10图6图8图7图52.对称型 如图5图8所示的图形属于对称型图形. 它们的特征是可沿某一直线对折,且这直线两旁的部分能完全重合,重合的顶点就是全等三角形的对应顶点.图93.旋转型 如图9、图10
4、所示的图形属于旋转型图形.它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的,故一般有一对相等的角含在平行线、对顶角、某些角的和或差中.熟悉上述图形对解决有关问题是大有益处的.具体解(证)题时,要善于抓住基本图形,这样就比较容易找到解决问题的途径和方法.三、学会用全等三角形解决有关问题图11ABCED全等三角形的对应边相等,对应角相等,因此利用全等三角形可说明某些线段或角相等.例 如图11,已知AC=BC,CD=CE,ACB=DCE=60,且B、C、E在同一直线上,说明:BD=AE.分析:BD是BED或BCD的边,AE是ABE或ACE的边,显然BED和ABE不全等,故转而考虑BCD 和ACE,在这两个三角形中,BC=AC,CD=CE,欲判定它们全等尚需一个条件,即BC和CD的夹角与AC和CE的夹角是否相等.因BCD=60+ACD=ACE,故BCDACE,从而BD=AE.点评:利用全等三角形说明线段或角相等的一般思路是:(1)观察线段或角在哪两个可能全等的三角形中;(2)分析欲说明全等的两个三角形,已知什么条件,还缺什么条件;(3)设法求得所缺条件;思考:当待证线段或角没有分布在两个存在全等可能性的三角形中时,怎么办?