《高中数学提分技巧：18个经典解题模板》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学提分技巧：18个经典解题模板（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 30 页高中数学考前必会的 18 个解题模板模板一求函数值例 1已知函数f(x)的定义域为 R.当x3xxxxx， 若函数 yf xm有四个不同的零点， 则实数m取值范围是_【解析】作图，由图可得实数m的取值范围是91,4模板四三角函数的性质例 4 【2018 湖南师大附中】 下列选项中为函数 1cos 2sin264f xxx的一个对称中心为 （）A.7,024B.,03C.1,34D.,012第 5 页 共 30 页模板构建在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:(1)先确定函数的定义域;(2)将已知函数化简为y=Asin(x+)+k 的形式时,尽量化成A0,0 的情况
2、;(3)将x+视为一个整体.解题思路为:【变式 4】 【2018 辽宁省凌源市模拟】已知函数 2cos3sin sin2f xxxx ，当0,2x时，函数 f x的最小值与最大值之和为_模板五三角函数的图象变换例 5将函数 2sin4fxx的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移(0)个单位后得到的图象关于直线2x对称，则的最小值是()第 6 页 共 30 页A.4B.3C.34D.38模板构建三角函数图象变换的主要类型:在x轴方向上的左、 右平移变换,在y轴方向上的上、下平移变换,在x轴或y轴方向上的伸缩变换.其基本步骤如下:【变式 5】 【2018 湖南省长郡中学模拟】为了得到函数
3、2sin 23yx的图象，只需把函数cos 23yx的图象（）A. 向左平移2个单位长度B. 向右平移2个单位长度C. 向左平移4个单位长度D. 向右平移4个单位长度【解析】cos 23yx=sin 2sin 2326xx2sin 243x所 以 需 把 函 数cos 23yx的 图 象 向 左 平 移4个 单 位 长 度 得 到 函 数2sin 23yx。故选C模板六解三角形例 6【2018 湖南省长沙市第一中学模拟】已知在ABC中，D是AC边上的点，且ABAD，62BDAD，2BCAD,则sinC的值为 （）第 7 页 共 30 页A.158B.154C.18D.14模板构建利用正弦定理、
4、余弦定理都可以进行三角形的边、角之间的互化,当已知三角形的两边及一边的对角,或已知两角及一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;如果已知三边或两边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下:【变式 6】 【2018 河南省南阳市第一中学模拟】在ABC中，内角, ,A B C所对的边分别为, , ,sincoscos3 cosa b cB aBbAcB.（1） 求B；（2） 若2 3,bABC的面积为2 3，求ABC的周长【解析】 （1）由题意及正弦定理得sinsin cossin cos3sin cosBABBACB，第 8 页 共 30 页sin sinsin sin3s
5、in cosBABBCCB，0,C，sin0C，sin3cosBB，tan3B 2220ac，222236acacac，6ac ，又2 3b ，ABC的周长为62 3.模板七利用函数性质解不等式例 7已 知 定 义 在R上 的 偶 函 数 f x在0,上 递 减 且 10f， 则 不 等 式414loglog0fxfx的解集为_模板构建函数性质法主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题.其解题要点如下:第 9 页 共 30 页【变式 4】 【2018 吉林省实验中模拟】 设函数 212xf xex， 则使得 21f xfx成立的x的取值范围是A.1,13B.1,1,3C.1 1,3 3D.11,
6、33 【解析】 212xf xex为偶函数， 且在0,单调递增， 因为 21f xfx，所以2121fxfxxx21341013xxx 选A.模板八利用基本不等式求最值例 8设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当xyz取得最大值时，212xyz的最大值为_【解析】由x23xy4y2z0，得zx23xy4y2，xyz22xy3xy4xy143xyyx第 10 页 共 30 页模板构建拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下:【变式 8】已知, x yR,且满足22xyxy,那么34xy
7、的最小值为_.【解析】由22xyxy，得1112xy 1134342xyxyxy=43552 62yxxy当且仅当432yxxy且22xyxy时等号成立34xy的最小值为52 6模板九不等式恒成立问题例 9 【2018 河南省中原名校联考】 已知函数 1 ln,0mf xxmxmx， 当1,xe时， 0f x 恒成立，则实数m的取值范围为_【解析】记函数 f x在1,e上的最小值为 g m: 1 lnmf xxmxx的定义域为0,. 211mmfxxx .令 0fx，得mx 或1x .0m1时，对任意的1xe, 0fx， f x在1,e上单调递增， f x最小值为 11 mf 第 11 页 共
8、 30 页当1me时， f x的最小值为 mm 1m 1 lnmf ;故实数m的取值范围为0,1.模板构建分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,其解题要点如下:【变式 9】 （）设不等式2211xm x 对满足2m 的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围；（）是否存在实数m,使得不等式2211xm x 对满足2x 的一切实数x的取值都成立【解析】 （）不等式2211xm x 可化为22110 xm x ，第 12 页 共 30 页满足条件的x的取值范围为7 13 122x .（）令 2211g xxm x 221mxxm ，使2x 的一切实数都有2211xm x .当0m 时， 21g
9、 xx在122x时， 0g x ，不满足题意；当0m时， g x只需满足下式0,12 20mmg ，或0,120 4410mmm m ，或 0,20 20mgg，解之得上述不等式组的解集均为空集，故不存在满足条件的m的值.模板十简单的线性规划问题例 10已知x，y满足约束条件20,20, 4180,xyxyxy则目标函数328xyz 的最小值为_【解析】第 13 页 共 30 页模板构建线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的方法是数形结合法.其基本的解题步骤如下:【变式 10】 【2018 辽宁凌源市联考】已知实数, x y满足73 ,313, 1yx
10、xyxy则23412xyz最小值为_【解析】作出不等式组所对应的可行域，如图所示：当23412xyz过点A1,4时，23412xyz有最小值为164.模板十一数列的通项与求和例 11 【2018 湖南省长沙市第一中学模拟】已知等差数列 na中，2465,22aaa，数列 nb中，113,212nnbbbn.（1）分别求数列 ,nnab的通项公式；（2）定义 xxx， x是x的整数部分， x是x的小数部分，且 01x.记数列 nc满足1nnnacb，求数列 nc的前n项和.第 14 页 共 30 页两式相减，得345122113357221321215252422222442222nnnnnnn
11、nnS故152522nnnS.模板构建数列的通项与求和问题的解题步骤如下:【变式 11】【2018 贵州省贵阳市第一中学模拟】 已知ABC的内角ABC、 、所对的边分别是, ,a b c且222acbcb，3a ；等差数列 na的公差1,2sinadaA.（）若角A及数列 na的通项公式；（）若数列 nb满足3log2nnab ，求数列2nna b的前n项和nS.第 15 页 共 30 页相减得2113 31233.3333 1nnnnnSnn，则121 334nnnS.模板十二空间中的平行与垂直例 12【2018 南京市一模】在直三棱柱111ABCABC中，CACB，点,M N分别是11,A
12、B AB中点.（1）求证：BN平面1AMC； （2）若11AMAB，求证：11ABAC.【解析】证明： （1）因为111ABCABC是直三棱柱，所以11/ /ABAB，且11ABAB，又点,M N分别是11,AB AB的中点，所以1MBAN，且1/ /MBAN则由侧面11ABB A 底面ABC，侧面11ABB A 底面ABCAB，CMAB，且CM 底面ABC，得CM 侧面11ABB A又1AB 侧面11ABB A，所以1ABCM又11ABAM，1,AM MC 平面1AMC，且1AMMCM，所以1AB 平面1AMC 又1AC 平面1AMC，所以11ABAC模板构建证明空间中的平行与垂直的步骤如下
13、:第 16 页 共 30 页【变式 12】如图，11,AA BB为圆柱1OO的母线，BC是底面圆O的直径，D是1AA的中点.（）问：1CB上是否存在点E使得/ /DE平面ABC？请说明理由；（）在（）的条件下，若DE 平面1CBB，假设这个圆柱是一个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋， 如果小鱼游到四棱锥11CABB A外会有被捕的危险， 求小鱼被捕的概率.【解析】 （）存在，E是的中点 证明：如图，由平面，且由（）知，平面，又是中点，因是底面圆的直径，得，且，平面，即为四棱锥的高第 17 页 共 30 页设圆柱高为 ，底面半径为 ，则，212=2233Vhrrhr锥，即
14、模板十三求空间角例 13 【2018 吉林省实验中学模拟】 如图，AB为圆O的直径， 点E，F在圆O上，/ /ABEF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知2AB ，1EF （）求证：平面DAF 平面CBF；（）当AD的长为何值时，二面角DFEB的大小为60（）设EF中点为G，以O为坐标原点，OAOGAD、方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间 直 角 坐 标 系 （ 如 图 ） 设(0)ADt t， 则 点D的 坐 标 为1,0,t， 则1,0,Ct， 又131,0,0 ,1,0,0 ,022ABF，所以，第 18 页 共 30 页因此，当AD的长为64时，平面DFC与平面FCB所成的
15、锐二面角的大小为 60。模板构建空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤如下:【 变 式 13 】 在 四 棱 柱1111ABCDABC D中 ， 底 面ABCD是 正 方 形 ， 且12BCBB，1160A ABA AD 第 19 页 共 30 页（1）求证：1BDCC；（2）若动点E在棱11C D上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面1BDB所成角的正弦值为714【解析】 （1）连接1AB，1A D，AC，因为1ABAAAD，1160A ABA AD ，
16、所以1A AB和1A AD均为正三角形，于是11ABAD设AC与BD的交点为O，连接1AO，则1AOBD，又四边形ABCD是正方形，所以ACBD，而1AOACO，所以BD 平面1A AC所以OA、OB、1OA两两垂直如图，以点O为坐标原点，OA 的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则1,0,0A，0,1,0B，0, 1,0D，10,0,1A，1,0,0C ，0,2,0DB ，111,0,1BBAA ，111,1,0DCDC ，由111,0,1DDAA ，易求得11, 1,1D 第 20 页 共 30 页设111D EDC （0,1） ，则1,1,11,1,0EEExyz，即1,1,1E ，所以1, ,1DE 模板十四直线与圆的位置关系例 14【2018 四川省绵阳市南山中学模拟】若圆2244100 xyxy上至少有三个不同的点到直线:0l axby的距离为2 2，则直线l的斜率的取值范围是（）A.23,23B.23, 32 C.23,23 D.23,23 【解析】圆2244100 xyxy可化为222218xy则圆心为（-2，2） ，半径为 32，1+240bbaa 由直
