《2021年高考数学艺术生复习基础讲义考点14 等比数列（教师版含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考数学艺术生复习基础讲义考点14 等比数列（教师版含解析）（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点14 等比数列知识理解一等比数列的有关概念定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q.二等比数列的有关公式1.通项公式：ana1qn1anamqnm. 2.前n项和公式：3 等比数列的性质1.等比中项(1)如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.(2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa.2.前n项和的性质（2） an为等比数列，若a1a2anTn，则Tn，成等比数列(3)当q0，
2、q1时，Snkkqn(k0)是an成等比数列的充要条件，此时k.考向分析考向一 等比数列基本运算【例1】(1)(2020重庆九龙坡区渝西中学高三月考)设等比数列an的前n项和是Sn，a22，a516，则S6 (2)(2021全国高三专题)等比数列中，记为的前项和.若，=_(3)(2020江西高三其他模拟)已知数列是正项等比数列，且，又，成等差数列，则的通项公式为 【答案】(1)63(2)6(3)【解析】(1)设公比为，则，即，解得，所以，所以，故选:A.(2)设的公比，由可得，当时，所以，即，此时方程没有正整数解；当时，所以，即，解得.故答案为：6.ABCD(3)由题意，设数列的公比为，因为，
3、所以，解得(负值舍去)；又，成等差数列，所以，即，则，解得， .【方法总结】（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.【举一反三】1(2020济南旅游学校)设等比数列满足，则公比_【答案】【解析】由于数列是等比数列，故由，可得，两式作比可得：，解得，即.故答案为：2(2020河南高三月考)已知等比数列满足且，则_.【答案】【解析】因为，所以.故由等比数列的通项公式得.故答案
4、为：3(2020河南高三其他模拟)已知在等比数列中，则数列的通项公式为_.【答案】或【解析】设等比数列的公比为q，因为，所以，解得，所以，解得或.当时， ，所以， 即有；当时， ，所以， 即有故答案为：或.4(2020上海市三林中学高三期中)数列中，数列前项和为，若，则_.【答案】1023【解析】因为，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以.故答案为：.考向二 等比数列中项性质【例2】(1)(2020浙江高三开学考试)已知等比数列，则( )ABCD1(2)(2020防城港市防城中学高三月考)等比数列中，则与的等比中项是( )AB4CD(3)(2020广西高三其他模拟)已知各项不为0的等差
5、数列an满足，数列bn是等比数列，且b7a7，则b2b8b11等于( )A1B2C4D8【答案】(1)D(2)A(3)D【解析】(1)由题意得：，由，得，故，故选：D.(2)，.又.与的等比中项是.故选：A.(3)因为an是各项不为0的等差数列，由可得：解得，所以，所以，关系存在D【举一反三】1(2020广西北海市高三一模)若数列是等比数列，且，则( )A1B2C4D8【答案】C【解析】因为数列是等比数列，由，得，所以，因此.故选：C.2(2020河南郑州市高三月考)正项等比数列满足，则( )A1B2C4D8【答案】C【解析】根据题意，等比数列满足，则有，即，又由数列为正项等比数列，故故选：C
6、3(2020河南高三期中)公差不为0的等差数列中，数列是等比数列，且，则( )A2B4C8D16【答案】D【解析】等差数列中,故原式等价于解得或 各项不为0的等差数列,故得到，数列是等比数列，故=16.故选：D.4(2020黑龙江哈尔滨市哈尔滨三中高三期中)等比数列的各项均为正数，且.则( )A3B505C1010D2020【答案】C【解析】由，所以.故选：C5(2020石嘴山市第三中学高三期中)在正项等比数列中，则的值是( )A10B1000C100D10000【答案】D【解析】正项等比数列中，因为，所以，即，故，.故选：D.6.(2020黑龙江大庆市大庆实验中学高三月考)在等比数列中，是方
7、程的根，则( )ABCD【答案】A【解析】根据题意：，故，故，则.故选：A.7(2020扬州市新华中学高三月考)已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是( )ABCD1【答案】D【解析】在等差数列中，由，得，在等比数列中，由，得，则故选：D考向三 等比数列的前n项和性质【例3】(1)(2020安徽和县)已知等比数列an的前n项和Sn3n+2+3t，则t( )A1B1C3D9(2)(2020广东佛山市高三月考)等比数列的前n项和为，若，则为( )A18B30C54D14(3)(2020全国高三专题)在等比数列an中，如果a1a240，a3a460，那么a7a8( )A135B100C95
8、D80(4)(2021山西太原市)已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则( ).A11B12C13D14【答案】(1)C(2)B(3)A(4)B【解析】(1)因为等比数列an的前n项和Sn3n+2+3t，则a1S133+3t27+3t，a2S2S1(34+3t)(33+3t)54，a3S3S2(35+3t)(34+3t)162，则有(27+3t)162542，解得t3，故选：C.(2)是等比数列，则也成等比数列，则，则.故选：B.(3)由等比数列前n项和的性质知，a1a2，a3a4，a5a6，a7a8成等比数列，其首项为40，公比为，所以a7a8.
9、故选：A(4)由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即，,解得，又前3项之积，解得，.故选:B.【举一反三】1(2021四川眉山)已知等比数列的前项和为，若，则( )A1B-1C2D-2【答案】B【解析】，所以，解得.故选：2(2020静宁县第一中学高三月考)设等比数列的前项和为，若，则( )A31B32C63D64【答案】C【解析】因为为等比数列的前项和，所以，成等比数列，所以，即，解得.故选：C3(2020江苏高三专题)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a3=4，a4a5a6=8，则S12=A40B60C32D50【答案】B
10、【解析】由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4,8，S9S6，S12S9是等比数列，因此S12=481632=60，选B4(2021安徽池州市)已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为( )ABCD【答案】D【解析】，设，则，所以，故，故选D.5(2020陕西铜川市高三二模)设等比数列an的前n项和为Sn，若S6：S3=1：2，则S9：S3=()A1：2B2：3C3：4D1：3【答案】C【解析】an为等比数列则S3，S6-S3，S9-S6也成等比数列由S6：S3=1：2令S3=x，则S6=x, ,则S3：S6-S3=S6-S3：S9-S6=-1：2
11、则S9-S6=x则S9=则S9：S3=：x=3：4故选C6(2020全国高三专题)设，.若是与的等比中项，则的最小值为( )A3BCD【答案】D【解析】是与的等比中项，.，.，当且仅当时取等号.的最小值为.故选：D.7(2020江西南昌二中高三月考)已知等比数列中，数列是等差数列，且，则( )ABCD【答案】A【解析】由题意可知，对任意的，由等比中项的性质可得，可得，则.由等差中项的性质可得.故选：A.8(2020全国高三专题)已知各项为正数的等比数列满足则的值为( )ABCD【答案】D【解析】已知各项为正数的等比数列满足，由等比中项的性质可得，由对数的运算性质可得.故选：D.考向四 等比数列
12、的定义运用【例4】(2020江苏南京市第二十九中学高三期中节选)已知等差数列的前项和为，数列满足，.证明：数列是等比数列，并求数列与数列通项公式；【答案】证明见解析；，【解析】，所以数列是首项为，公比等比数列，所以，即，；由，解得，所以【方法总结】等比数列的判定方法定义法若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列中项公式法若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则an是等比数列通项公式法若数列an的通项公式可写成ancqn1(c，q均为非零常数，nN*)，则an是等比数列前n项和公式法若数列an的前n项和Snkqnk(k为非零常数，q0,1)，则an
13、是等比数列【举一反三】1(2020全国高三专题)已知数列满足，证明：是等比数列；【答案】见解析；【解析】由题意，数列满足，所以又因为，所以，即，所以是以2为首项，2为公比的等比数列2(2020江苏省镇江中学高三开学考试)在数列中，求证数列为等比数列，并求关于的通项公式；【答案】证明见解析；【解析】，为等比数列且首项为，公比为2，.3(2020安徽高三月考)已知正项数列满足：，判断数列是否是等比数列，并说明理由；【答案】答案不唯一，具体见解析；【解析】，又是正项数列，可得，当时，数列不是等比数列；当时，易知，故，所以数列是等比数列，首项为，公比为2.4(2020安徽高三月考)已知数列满足：=1，.求证：数列是等比数列；【答案】证明见解析【解析】设，则，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即数列是等比数列考向五 历史中的数列【例5】(20
