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1、2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（56分）：1（4分）（2012上海）计算：=（i为虚数单位）2（4分）（2012上海）若集合A=x|2x+10，B=x|x1|2，则AB=3（4分）（2012上海）函数f（x）=的值域是4（4分）（2012上海）若=（2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）5（4分）（2012上海）在的二项展开式中，常数项等于6（4分）（2012上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，Vn，则（V1+V2+Vn）7（4分）（2012上海）已知函数f（x）=e|xa|（a为常数）若f（x
2、）在区间1，+）上是增函数，则a的取值范围是8（4分）（2012上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为9（4分）（2012上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（1）=10（4分）（2012上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成=f（）的形式，则f（）=11（4分）（2012上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）12（4分）（2012上海）在平行四边形ABCD中，A=，边AB、
3、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是13（4分）（2012上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0x1）的图象与x轴围成的图形的面积为14（4分）（2012上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是二、选择题（20分）：15（5分）（2012上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）Ab=2，c=3Bb=2，c=3Cb=2，c=1D
4、b=2，c=116（5分）（2012上海）在ABC中，若sin2A+sin2Bsin2C，则ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定17（5分）（2012上海）设10x1x2x3x4104，x5=105，随机变量1取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量2取值、的概率也均为0.2，若记D1、D2分别为1、2的方差，则（）AD1D2BD1=D2CD1D2DD1与D2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关18（5分）（2012上海）设an=sin，Sn=a1+a2+an，在S1，S2，S100中，正数的个数是（）A25B50C75D100三、解答题（
5、共5小题，满分74分）19（12分）（2012上海）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2，PA=2，求：（1）三角形PCD的面积；（2）异面直线BC与AE所成的角的大小20（14分）（2012上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0f（12x）f（x）1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0x1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x1，2）的反函数21（14分）（2012上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长
6、度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22（16分）（2012上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y2=1（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OPOQ；（3）设
7、椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值23（18分）（2012上海）对于数集X=1，x1，x2，xn，其中0x1x2xn，n2，定义向量集Y=（s，t），sX，tX，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P例如1，1，2具有性质P（1）若x2，且1，1，2，x具有性质P，求x的值；（2）若X具有性质P，求证：1X，且当xn1时，x1=1；（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1，x2，xn的通项公式2012年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（56分）：1（4分）（2012上海）计
8、算：=（i为虚数单位）【解答】解：故答案为12i2（4分）（2012上海）若集合A=x|2x+10，B=x|x1|2，则AB=【解答】解：由题意A=x|2x+10=x|x，B=x|x1|2=x|1x3，所以AB=（，3）故答案为（，3）3（4分）（2012上海）函数f（x）=的值域是【解答】解：f（x）=2sinxcosx=2sin2x1sin2x1sin2x则2sin2x函数f（x）=的值域是故答案为：4（4分）（2012上海）若=（2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）【解答】解：=（2，1）是直线l的一个法向量可知直线l的一个方向向量为（1，2），直
9、线l的倾斜角为得，tan=2=arctan2故答案为：arctan25（4分）（2012上海）在的二项展开式中，常数项等于【解答】解：展开式的通项为Tr+1=x6r（）r=（2）r x62r令62r=0可得r=3常数项为（2）3=160故答案为：1606（4分）（2012上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，Vn，则（V1+V2+Vn）【解答】解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为an则=是以1为首项，以为公比的等比数列则（V1+V2+vn）=故答案为：7（4分）（2012上海）已知函数f（x）=e|xa|（a为常数）若f（x）在区间1，+）上是
10、增函数，则a的取值范围是【解答】解：因为函数f（x）=e|xa|（a为常数）若f（x）在区间1，+）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|xa|在区间1，+）上是增函数又t=|xa|在区间a，+）上是增函数所以1，+）a，+），故有a1故答案为（，18（4分）（2012上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，因为4=l2，所以l=2，半圆的弧长为2，圆锥的底面半径为2r=2，r=1，所以圆锥的体积为：=故答案为：9（4分）（2012上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2
11、，则g（1）=【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（1）+（1）2=0解得f（1）=3所以g（1）=f（1）+2=3+2=1故答案为：110（4分）（2012上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成=f（）的形式，则f（）=【解答】解：取直线l上任意一点P（，），连接OP，则OP=，POM=在三角形POM中，利用正弦定理可知：解得=f（）=故答案为：11（4分）（2012上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数
12、表示）【解答】解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有333=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有=18种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有2中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：12（4分）（2012上海）在平行四边形ABCD中，A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（），设=，0，1，M（2+），N（），所以=（2+）（）=22+5，因为0，1，二次函数的对称轴为
13、：=1，所以0，1时，22+52，5故答案为：2，513（4分）（2012上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函数y=xf（x）（0x1）的图象与x轴围成的图形的面积为【解答】解：由题意可得，f（x）=，y=xf（x）=，设函数y=xf（x）（0x1）的图象与x轴围成的图形的面积为S，则S=10x2dx+（10x2+10x）dx=10+（10）+10=+5=故答案为：14（4分）（2012上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是【解答】解：作BEAD于E，连接CE，则AD平面BEC，所以CEAD，由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，AB+BD=AC+CD=2a，显然ABDACD，所以BE=CE取BC中点F，EFBC，EFAD，要求四面体ABCD的体积的最大值，因为AD是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，AB+BD=AC+CD=2a，AB=a，所以EB=，EF=，所以几何体的体积为：=故
