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1、.抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1，定义在 xR 上的函数 y=f(x) ，满意 f(x+a)=f(x-a)（或 f(x-2a)=f(x) ） (a0)恒成立，就 y=f(x) 为周期为 2a的周期函数；2，如 y=f(x) 的图像关于直线 x=a 和 x=b 对称，就函数 y=f(x) 为周期为 2|a-b| 的周期函数；3，如 y=f(x)的图像关于点 (a,0)和 (b,0)对称，就函数y=f(x) 为周期为 2|a-b|的周期函数；4，如 y=f(x)的图像有一个对称中心A(a,0) 和一条对称轴x=b（ a b），就函数 y=f(x) 为周期为 4|a-b| 的周期函数；5，如
2、函数 y=f(x) 满意 f(a+x)=f(a-x) ，其中 a0 ，且假如 y=f(x) 为奇函数，就其周期为4a；假如 y=f(x) 为偶函数，就其周期为2a；精选范本6，定义在 x R 上的函数 y=f(x) ，满意 f(x+a)=-f(x)期为 2|a| 的周期函数；或fxa1f ( x)或fxa1f ( x)，就 y=f(x) 为周7，如fxafx1fx1在 x R 恒成立，其中 a0 ，就 y=f(x) 为周期为 4a 的周期函数；|精.|品.8，如fxa1fx在 x R 恒成立，其中 a0 ，就 y=f(x) 为周期为 2a 的周期函数；|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.
3、fx1fx1fxa1fx1fxa1fx1fx1（ 7， 8 应把握详细推导方法，如7）121fx2a函数图像的对称性：2 f (x)1f (x)1，如函数 y=f(x) 满意 f(a+x)=f(b-x) ，就函数 y=f(x) 的图像关于直线 xab 对称；22，如函数 y=f(x) 满意 f(x)=f(2a-x) 或 f(x+a)=f(a-x)，就函数 y=f(x) 的图像关于直线 x=a 对称；3，如函数 y=f(x) 满意 f(a+x)+f(b-x)=c，就 y=f(x) 的图像关于点a b , c成中心对称图形；224，曲线 f(x,y)=0 关于点 (a,b)的对称曲线的方程为f(2
4、a-x,2b-y)=0 ；5，形如 yaxb ccxd0, adbc的图像为双曲线，由常数分别法axdadbyccaadb c知：对称中心为点d , a；cxdccxdcccc6，设函数 y=f(x) 定义在实数集上，就y=f(x+a) 与 y=f(b-x) 的图像关于直线 xb a 对称； 27，如函数 y=f(x) 有反函数，就y=f(a+x) 和 y=f -1(x+a) 的图像关于直线 y=x+a 对称；一， 换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它为解答抽象函数问题的基本方法.例1.已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求 f(x)二，方程组法运用方程组通过消参，消元
5、的途径也可以解决有关抽象函数的问题；例 2 设yf(x)为实数函数(即x,f ( x)为实数), 且f (x)2 f ( 1 )xx, 求证 :|f (x) |22.3三，待定系数法假如抽象函数的类型为确定的，就可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题；例 3已知 f(x) 为二次函数，且 f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x) .四，赋值法有些抽象函数的性质为用条件恒等式给出的，可通过赋特别值法使问题得以解决；例 4对任意实数 x,y，均满意 f(x+y 2)=f(x)+2f(y)2 且 f(1) 0,就 f(2001) =.例 5已知 f(x) 为定义在 R 上的不恒为零的函
6、数，且对于任意的实数a,b 都满意f(ab)=af(b)+bf(a).(1) 求 f(0) ， f(1) 的值； (2)判定 f(x) 的奇偶性 ,并证明你的结论 ;|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.五，转化法通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的便利.例 6设函数 f(x) 对任意实数 x,y，都有 f(x+y)=f(x)+f(y),如 x0 时 f(x)0 且 a 1)f(x+y)=f(x)f(y)或fxyfx fy对数函数f(x)=log ax(a0 且 a 1)f(xy)=f(x)+f(y)或fx yfxfy
7、正，余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)f ( xy)f ( x)f ( y)正切函数f(x)=tanx余切函数f(x)=cotxf ( xy)1f ( x) f ( y)1f ( x) f ( y)f ( x)f ( y)|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.例 10 已知实数集上的函数f(x) 恒满意 f(2+x)=f(2-x) , 方程f(x)=0有 5 个实根 , 就这5 个根之和= 例 11设定义在 R 上的函数 f(x)，满意当 x0 时， f(x)1 ，且对任意 x，yR，有 f(x+y)=f(x)f(y) ， f(1)=21|资.|料.2（ 1
8、）解不等式 f(3x-x)4 ；（ 2）解方程 f(x)2+f(x+3)=f(2)+12例 12已知函数 f(x) 对任何正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y) ，且 f(x) 0，当 x1 时， f(x)1 ；试判定 f(x) 在(0,+ )上的单调性，并说明理由；函数性质练习1. 已知函数f (x)(m1)x 2(m2) x(m 27m12) 为偶函数，就m 的值为（）A.1B.2C.3D.42. 如偶函数f (x) 在, 1 上为增函数，就以下关系式中成立的为（）A. f (3 ) 2f ( 1)f (2) B.f ( 1)f (3 ) 2f (2)C.f ( 2)f (1)f
9、 (3) D.2f (2)f (3 ) 2f ( 1)3. 假如奇函数f (x)在区间3,7上为增函数且最大值为5 ，那么f (x) 在区间7, 3上为（）A. 增函数且最小值为5C.减函数且最大值为5B. 增函数且最大值为5D.减函数且最小值为54. 设f ( x)为定义在R 上的一个函数，就函数F (x)f ( x)f (x)在 R 上肯定为（）A. 奇函数B.偶函数C.既为奇函数又为偶函数D.非奇非偶函数5. 以下函数中 ,在区间0,1上为增函数的为（）|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.A. yx6. 函数 f ( x)B. y3xx( x1x1)C. y1 x为（）2D.
10、 yx4|料.A.为奇函数又为减函数B.为奇函数但不为减函数C.为减函数但不为奇函数D.不为奇函数也不为减函数7. 设奇函数f (x) 的定义域为5,5，如当 x0,5时， f( x) 的图象如右图 ,就不等式f ( x)0 的解为8. 函数 y2xx1 的值域为.9. 已知 x0,1 ，就函数 yx2 1x的值域为.10. 如函数f ( x)(k2) x2(k1)x3 为偶函数，就f (x)的递减区间为.11. 以下四个命题（ 1）f (x)x21x 有意义 ;（ 2）函数为其定义域到值域的映射;（ 3）函数 y2 x(xN )的图象为始终线； （ 4）函数 yx2 , x20的图象为抛物线，x , x0其中正确的命题个数为 .12. 已知函数f ( x)的定义域为1,1，且同时满意以下条件： （ 1）f ( x) 为奇函数；（ 2）f ( x)在定义域上单调递减； （3）f (1a)f (1a 2 )0, 求a 的取值范畴 .抽象函
