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1、高考数学普通高等学校招生全国统一考试74高考数学普通高等学校招生全国统一考试 74 理 科数学(全国卷) 第卷 参考公式: 如果事件A.B互斥,那么 球的表面积公式 如果事件A.相互独立,那么 其中R表示球的半径 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 一选择题 (1)复数() (A) (B)(C) (D) 【解析】,故选A 【点拨】对于复数运算应先观察其特点再计算,会简化运算 (2)设为全集,是的三个非空子集,且,则下面论断正确的是() (A) (B) (C) (D) 【解析】所表示的部分是图中蓝色 的部分,所表示的部
2、分是图中除去的部分, ,故选C 【点拨】利用韦恩图求解 (3)一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为,则球的表面积为() (A) (B) (C) (D) 【解析】截面圆面积为,截面圆半径, 球的半径为, 球的表面积为,故选 【点拨】找相关的直角三角形 (4)已知直线过点,当直线与圆有两个交点时,其斜率k的取值范围是() (A) (B) (C)(D) 将化为, 该圆的圆心为,半径, 设直线的方程为,即,设直线到圆心的距离为,则 直线与圆有两个交点, ,故选C 【点拨】利用圆心到直线的距离解直线与圆的位置关系 (5)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且均为正三角形
3、,EFAB,EF=2,则该多面体的体积为( ) (A)(B) (C) (D) 【解析】过A.B两点分别作AM.BN垂直于EF,垂足分别为M.N,连结DM.CN,可证得DMEF.CNEF,多面体ABCDEF分为三部分,多面体的体积V为 ,作NH垂直于点H,则H为BC的中点,则, ,故选A 【点拨】将不规则的多面体分割或补全为规则的几何体进行计算 (6)已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合,则该双曲线的离心率为( ) (A)(B) (C) (D) 【解析】由得,抛物线的准线为,因为双曲线的一条准线与抛物线的准线重合,所以,解得,所以,所以离心率为,故选D 【点拨】熟悉圆锥曲线各准线方程 (7)当
4、时,函数的最小值为() (A)2 (B) (C)4(D) 【解析】 ,当且仅当,即时,取,存在使,这时,故选 【点拨】熟练运用三角函数公式进行化简运算 (8)设,二次函数的图像为下列之一 则的值为() (A) (B)(C) (D) 【解析】,图像不能以轴为对称轴,一.二两个图不符;第四个图可知,故其对称轴为,所以也不符合;只有第三个图可以,由图象过原点,得,开口向下,所以,故选B 【点拨】熟悉二次函数图象的特点,分析对称轴.与轴的交点等形与数的关系 (9)设,函数,则使的的取值范围是( ) (A) (B) (C)(D) 【解析】,解得或(舍去), ,故选C 【点拨】熟悉对数的性质 (10)在坐
5、标平面上,不等式组所表示的平面区域的面积为() (A) (B) (C) (D)2 【解析】原不等式化为或, 所表示的平面区域如右图所示, ,故选B 【点拨】分类讨论,通过画出区域,计算面积 (11)在中,已知,给出以下四个论断: 其中正确的是() (A)(B)(C) (D) 【解析】, , ,不一定成立, ,成立, ,不一定成立, ,成立,故选B 【点拨】考查三角公式的灵活运用 (12)过三棱柱任意两个顶点的直线共15条,其中异面直线有() (A)18对 (B)24对 (C)30对 (D)36对 【解析】解法一:(直接法) 与上底面的.成异面直线的有15对; 与下底面的.成异面直线的有9对(除
6、去与上底面的); 与侧棱.成异面直线的有6对(除去与上下底面的); 侧面对角线之间成异面直线的有6对; 所以异面直线总共有36对 解法二:(间接法) 共一顶点的共面直线有对; 侧面互相平行的直线有6对; 侧面的对角线有3对共面; 所以异面直线总共有对 【点拨】解排列组合题的关键是分好类 第卷 二本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上 (13)若正整数m满足,则m = 155 【解析】,即, ,即 , 【点拨】把指数形式化成对数形式 (14)的展开式中,常数项为672 (用数字作答) 【解析】的通项公式为,令得,常数项为 【点拨】熟悉二项式定理的展开式的通项公式 (15)的外
7、接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,则实数 【解析】(特例法)设为一个直角三角形,则O点斜边的中点,H点为直角顶点,这时有,(但当为正三角形时,mR) 【点拨】由特殊情况去检验一般情况 (16)在正方体中,过对角线的一个平面交于E,交于F,则 四边形一定是平行四边形 四边形有可能是正方形 四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形 四边形有可能垂直于平面 以上结论正确的为(写出所有正确结论的编号) 【解析】平面与相对侧面相交,交线互相平行, 四边形一定是平行四边形; 四边形若是正方形,则,又, 平面,产生矛盾; 四边形在底面ABCD内的投影是正方形; 当E.F分别是.的中点时,又平面, 四边
8、形有可能垂直于平面; 【点拨】边观察.边推导 三解答题:本大题共6小题,共74分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (17)(本大题满分12分) 设函数图像的一条对称轴是直线 ()求; ()求函数的单调增区间; ()证明直线于函数的图像不相切 (18)(本大题满分12分) 已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形,ABDC,底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点 ()证明:面PAD面PCD; ()求AC与PB所成的角; ()求面AMC与面BMC所成二面角的大小 (19)(本大题满分12分) 设等比数列的公比为,前n项和 ()求的取值范围; ()设,记的前n项和为,试比较与的大小 (20)(本大题满分12分) 9粒种子分种在3个坑内,每坑3粒,每粒种子发芽的概率为,若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种,若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种假定每个坑至多补种一次,每补种1个坑需10元,用表示补种费用,写出的分布列并求的数学期望(精确到) (21)(本大题满分14分) 已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A.B两点,与共线 ()求椭圆的离心率; ()设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值 (22)(本大题满分12分) ()设函数,求的最小值; ()设正数满足,证明:
