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1、精品word学习资料可编辑学号1322060006编号 202122060006分类理工LUOYANG NORMAL UNIVERSITY成人训练本科生毕业论文Adult Education Bachelor s Thesis|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.论文题目多项式理论在初等数学中的应用作者姓名郭莉娜指导老师所在院系数学科学学院 专业名称数学与应用数学 完成时间2021 年 3 月 20 日名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑多项式理论在初等数学中的应用潇 洒（指导老师：张永新）（洛阳师范学院数学科学学系河南 洛阳 435002 ）摘 要： 多项式理论是高
2、等代数的主要内容之一，它与初等数学有着亲热的联系，它解决了初等数学中关于多项式的许多遗留问题；本文将从因式分解，一元高次方程，多项式的恒等，证明一类数是无理数等方面来探究多项式理论在初等数学中的应用，并给出了如干应用方法，完全解决了一元多项式的理论问题，促使师范专业的同学明白到高等代数对初等数学的指导作用，体会初等数学与高等名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.代数之间的联系，加强同学对多项式理论的学习，以便将来为从事中学数学的老师供应帮忙；关键词: 因式分解 一元高次方程多项式的恒等艾森斯坦判定法名师归纳总结欢迎下载精品word学
3、习资料可编辑多项式理论在初等数学中的应用多项式不仅是中学代数的主要内容之一，也是代数学的一个基本概念，在数学本身 和实际应用中都常遇见它 . 但由于高等代数与初等数学在争论对象，方法上显现了不同， 加之它的抽象性，造成许多数学专业的高校生认为， “教中学用不上高等代数”，因此许多数学师范生对学习高等代数这门课程不够重视 . 那么如何运用高等代数来指导中学数 学便成了值得探讨的问题 .本文将运用高等代数中的多项式理论方面的学问来处理初等数学中的一些遗留问题 . 通过一些实例， 使师范院校的同学充分明白到高等代数对初等数学的指导作用.名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑|精.|品.|可.
4、|编.|辑.|学.|习.|资.|料.1 判定能否分解因式多项式的因式分解是指在给定的数域 F 上，把一个多项式表示成如干个不行约多项式的乘积. 我们知道，一个多项式可能在一个数域上不行约，但在另一数域上可约. 例如名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑2多项式 x2 在有理数域上不行约，由于它不能分解成有理数域上两个一次多项式的乘名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑2积，但这个多项式在实数域上可约，由于 x2( x2)( x2) .名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑由于在初等数学中，我们接触最多的是有理数域上的多项式且多项式次数不超过5次，所以本文将在有理数域上对
5、因式分解作进一步探讨.1.1 待定系数法依据已知条件把原式假设为如干个因式的乘积， 这些因式中的系数可先用字母表示， 它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，依据恒等原理，建立待定系数的方程组，求出待定系数 .名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑例 1判定 x42 x38x1 在有理数域上能否分解因式 .名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑解 令 f ( x)x42x38x1 ，由于f ( 1)0 ，所以f ( x) 无一次因式. 如一个整系名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑数n(n0) 多项式f ( x)
6、 在有理数域上可约，那么f (x) 总可以分解成次数都小于 n 的两个名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑整数系数多项式的乘积 . 就可设f ( x)( x2mx1)(x2nx1) ，其中m, n 为整数. 即名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑43432名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑x2x8x1x(mn) xmnx(nm) x1名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑比较等式两端的对应项系数，得m n2mn0.n m8名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑由知 m0 或n0 ，如m0 ，就n2但n
7、m2028 ；如n0 ，名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑就m2 ，但 nm28，所以f ( x) 不行约. 即f ( x) 在有理数域上不能分解因式 .名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑|精.|品.|可.|编.|辑.|学.1.2 艾森斯坦判定法n名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑|习.|资.|料.1定理 1（艾森斯坦判定法）设f ( x)a0a1xL anx是一个整系数多项式 .名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑如是能够找到一个素数 p 使名师归纳总结欢
8、迎下载精品word学习资料可编辑（ i)最高次项系数an 不能被 p 整除；名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑(ii) 其余各项的系数都能被 p 整除；2（ iii)常数项 a0 不能被 p 整除，名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑那么多项式f ( x) 在有理数域上不行约 .名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑x1 n2n2例 2判定2 在有理数域上能否分解因式 .名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑解 令 f ( x)x2 ，易找到素数 p2 ，中意上述条
9、件， 2 .1， 2 | 2，. 2 ，名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑故 f ( x) 在有理数域上不行约 . 即 xn2 在有理数域上不能分解因式 .名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑艾森斯坦判定法不是对于全部整系数多项式都能应用的，由于中意判定法中条名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑件的素数 p 不愿定存在 . 如是对于某一多项式f ( x) 找不到这样的素数 p ，那么f ( x) 可能名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑在有理数域上可约， 也可能
10、不行约 . 例如，对于多项式2x3x2 与x21来说，都找不到名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑一个中意判定法的条件素数 p ，但明显前一个多项式在有理数域上可约，而后一个多项名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑式不行约. 虽然有时对于某一多项式f (x) 来说， 艾森斯坦判定法不能直接应用，但是我名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑2们可以把f ( x) 适当变形后，就可以应用这个判定法，例如x21，令 xy1 得名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑g( y)
11、y22 y22 .12 | 222. 2 ，所以x1在有理数域上不行约 .名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑，由于，以上通过待定系数法和艾森斯坦判定法， 我们就可以知道多项式能否分解因式 .2 分解因式在初等数学中，我们接触的分解因式常用的方法都比较简便，特殊，如提公因名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑|精.|品.|可.|编.|辑.|学.|习.|资.|料.式法，公式法，分组分解法，十字相乘法，拆项法，添项法等，这里我将介绍多项式理论中的三种方法来解决较高次多项式的因式分解问题 .2.1 综合除法名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品wor
12、d学习资料可编辑综合除法用以查找所给整系数多项式f ( x) 的一次因式，f ( x) 有因式 xa 的充名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑要条件是f (a)0 ，a 就是f (x) 的一个根. 当a 是有理数时，可用综合除法试除予以确定 .名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑nn1这种方法的依据是：假如整系数多项式名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑f ( x)a xnan 1 xa1xa0名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑x有因式qp （ p ， q 是互质的整数）就 p 确定是 an 的约数， q 确定是 a0 的约数.名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑具体做法是：名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑（1） 先写出整系数多项式f ( x) 的首项系数an 和常数项a0 的全部因数，然后以 an名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑名师归纳总结欢迎下载精品word学习资料可编辑的因数为分母，a0 的因
