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1、安徽省合肥市第八中学2020-2021学年高一数学下学期期末复习限时作业（5）（含解析）一、选择题：本题共8小题，前6小题为单项选择，每小题5分；后2小题为多项选择，每小题7分，合计共44分。1设为虚数单位），则复数的虚部为AB4CD【答案】A【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的虚部概念得答案【详解】解：，复数的虚部为，故选：2如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（）ABCD【答案】B【分析】根据向量的加法减法运算即可求解.【详解】依题意，故选：B3在中，已知，为边中点，点在直线上，且，则边的长度为（ ）ABCD6【答案】A【分析】由等腰三角形的性质
2、知、，有，根据向量数量积的几何意义可得，即可求边的长度.【详解】在中，为边中点，即中有，且，的夹角为，即，可得.故选：A.4在中，则（ ）ABCD【答案】C【分析】先根据余弦定理求，再根据余弦定理求，最后根据同角三角函数关系求【详解】设，.故选：C.5的内角、的对边分别为、，已知，则的面积为（ ）ABCD【答案】B【分析】先由正弦定理边角互化，计算求得，再根据余弦定理求，最后计算面积.【详解】根据正弦定理有，、，则，可得，由余弦定理可得，则为锐角，所以，所以，解得.因此，.故选：B.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择
3、“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.6已知平面向量是单位向量，且.则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】根据题意，求得的表达式，分析可得表示单位圆上的点到定点的距离，由点到圆的位置关系分析，即可得到答案.【详解】根据题意，三个平面向量是单位向量，且，可设
4、，则，若为单位向量，则，表示单位圆上的任意一点，所以，表示单位圆上的点到定点的距离，其最大值为,最小值为，所以的取值范围是.故选：A.【点睛】求平面向量的模的2种方法：1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算；2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.二、多选题7(多选题)锐角中，三个内角分别是，且，则下列说法正确的是（ ）AsinAsinBBcosAcosBDsinBcosA【答案】ABCD【分析】由正弦定理得出，判断A，由余弦函数性质判断B，由正弦函数性质及诱导公式判断CD【详解】因为，所以ABabsinAsinB，故A成
5、立.函数y=cosx在区间0，上是减函数，AB，cosA，AB，函数y=sinx在区间上是增函数，则有sinAsin，即sinAcosB，C成立，同理sinBcosA，故D成立.故选：ABCD8下列说法中错误的为（ ）A已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C非零向量，满足且与同向，则D非零向量和，满足，则与的夹角为30【答案】AC【分析】由向量的数量积，向量的夹角，判断；向量的基本定理判断；向量的定义判断；平面向量的基本定理与向量的夹角等基本知识判断【详解】解：对于，与的夹角为锐角，且时与的夹角为，所以且，故错误；对于B，向量，即共线，故不能作为平
6、面内所有向量的一组基底，B正确；向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误；对于因为，两边平方得，则，故，而向量的夹角范围为，得与的夹角为，故项正确故错误的选项为AC故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题6分，共24分9已知=（2，3），=（2,4），向量在上的投影向量_；【答案】【分析】根据向量的数量积计算出向量在上的投影，然后由投影数乘向量方向的单位向量【详解】由题意向量在上的投影为，向量在上的投影向量为故答案为：10已知复数z，则z_.【答案】【分析】化简,计算z即可.【详解】z故答案为：11在中，角，的对边分别为，已知的面积为，则的值为_.【答案】4【分析】由得，再由面积得，最后结合
7、余弦定理求解即可得答案.【详解】解：因为，所以，因为已知的面积为，所以，整理得，由余弦定理得，所以.故答案为：12海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径、两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点、，测得，则、两点的距离为_.【答案】【分析】在中，利用正弦定理计算出，分析出为等腰三角形，可求得，然后在中，利用余弦定理可求得.【详解】在中，在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，因此，.故答案为：.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案
8、，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.四、解答题：本题共2小题，共32分；第13题14分，第14题18分13如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上中点，点F在边CD上（1）若点F是CD上靠近C的三等分点，设，求+的值（2）若AB2，当1时，求DF的长【答
9、案】（1）；（2）【分析】（1）先转化得到，再表示出，求出，最后求+的值；（2）先得到和，再建立方程求解，最后求DF的长.【详解】（1）点E是BC边上中点，点F是CD上靠近C的三等分点，故+.（2）设，则，又，0，（）（）24+21，故，DF（1）2【点睛】本题考查利用向量的运算求参数，是基础题14在中，角，所对的边分别为，.（1）求外接圆的面积；（2）若，求的周长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先利用诱导公式将原式化简，再运用正弦定理进行边角互化，得出角的大小，然后运用正弦定理求解外接圆的半径，从而得出外接圆的面积.（2）由及可解出，的大小，得出角的大小，进而得出角，然后在中，由余弦定理可解得的值，得出的周长.【详解】（1） ， ，由正弦定理得：，因为 ，所以，得，又，故 ，外接圆的半径，外接圆的面积为.（2）由及得：，则为锐角，故.如图所示，在中，由余弦定理得，解得，则的周长为.【点睛】解三角形时，若题目所给式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若式子中含有角的正弦或者边的一次式时，则考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则两个定理都有可能用到.
