2020年北京市东城区高考数学一模试卷-含解析

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1、第 1 页，共 15 页 2020 年北京市东城区高考数学一模试卷 含详细解析 一、选择题（本大题共10 小题，共 40.0 分） 1.已知集合 ?= ?|? - 1 0，?= -1, 0，1，2，那么 ?= () A. -1,0B. 0,1C. -1, 0，1，2D. 2 2.函数 ?(?) = ?-2 ? 2+1 的定义域为 () A. (-1,2B. 2, +) C. (- ,-1)1， +)D. (- ,-1)2 ，+) 3.已知 2 1+? = 1 - ?(?) ，则 ?= () A. 1B. 0C. -1D. -2 4.若双曲线 ?：? 2 - ? 2 ? 2= 1?(? 0)的一

2、条渐近线与直线 ?= 2?+ 1平行，则b的值 为() A. 1B. 2C. 3 D. 2 5.如图所示，某三棱锥的正( 主)视图、俯视图、侧(左) 视图均为直角三角形，则该三 棱锥的体积为 () A. 4B. 6C. 8D. 12 6.已知 ? 0B. ?+ 1 ? 0D. ?+ ? 0 7.在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12 分钟转动一周若点M 的初始位置坐标为( 1 2 , 3 2 ) ，则运动到3 分钟时，动点 M 所 处位置的坐标是() A. ( 3 2 , 1 2) B. (- 1 2 , 3 2 )C. (- 3 2 , 1 2) D. (-

3、 3 2 ,- 1 2) 8.已知三角形ABC，那么“ | ? ? + ? ? ? ? | | ? -? ? ? ? |”是“三角形 ABC 为锐角三角 形”的 () A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 第 2 页，共 15 页 9.设 O 为坐标原点，点?(1,0)，动点 P 在抛物线 ? 2 = 2? 上，且位于第一象限，M 是 线段 PA 的中点，则直线OM 的斜率的范围为() A. (0,1B. (0, 2 2 )C. (0, 2 2 D. 2 2 ,+) 10.假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物，

4、则 我们称前者为被捕食者，后者为捕食者现在我们来研究捕食者与被捕食者之间 理想状态下的数学模型假设捕食者的数量以?(?)表示，被捕食者的数量以?(?)表 示如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加 的方向下列说法正确的是：() A. 若在 ? 1，?2时刻满足： ?(?1) = ?(?2)，则 ?(?1) = ?(?2) B. 如果 ?(?)数量是先上升后下降的，那么?(?)的数量一定也是先上升后下降 C. 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值 D. 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大 值 二、填空题（本大题共5 小题，

5、共25.0 分） 11.已知向量 ? = (?,1) ，? ? = (1, -2) ，? = (2,3) ，若? ? - ? ? 与?共线，则实数 ?= _ 12.在(?+ 2 ? )6的展开式中常数项为_ 13.圆心在 x 轴上，且与直线?1：?= ? 和?2：?= ? - 2都相切的圆的方程为 _ 14.?是等边三角形，点D 在边 AC 的延长线上，且? = 3? ，? = 2 7，则 ? = _，sin ?= _ 15.设函数 ?(?) = ?(? + 1)?, ? 0，? ? ，使得 ?(?) = ? 无解； 对? 0，? ，使得 ?(?) = ? 有两解； 当? 0，使得 ?(?)

6、= ? 有解； 当? 2时， ? ，使得 ?(?) = ? 有三解 其中，所有正确结论的序号是_ 三、解答题（本大题共6 小题，共85.0 分） 16.如图，在四棱锥?- ?中， ? 面 ABCD ，底面 ABCD 为平行四边形，? ?，? = ? = 1，? = 1 () 求证： ?/平面 PBC； () 求二面角 ?-? - ? 的余弦值的大小 第 3 页，共 15 页 17.已知函数 ?(?) = ?(2?- ? 6) - 2? 2 (?+ ? 6)(? 0)，且满足 _ () 求函数 ?(?) 的解析式及最小正周期； () 若关于 x的方程 ?(?) = 1在区间 0, ?上有两个不同

7、解，求实数m的取值范 围 从?(?) 的最大值为1，?(?) 的图象与直线?= -3 的两个相邻交点的距离等于 ? ， ?(?) 的图象过点 ( ? 6 ,0)这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答 18.中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020 年北斗全 球系统建设将全面完成下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位 模块，分别定位的50 个点位的横、纵坐标误差的值，其中“? ”表示北斗二代定 位模块的误差的值，“+ ”表示北斗三代定位模块的误差的值( 单位：米 ) () 从北斗二代定位的50 个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于10 米的概率

8、； () 从图中 A，B，C，D 四个点位中随机选出两个，记X 为其中纵坐标误差的值 小于 -4 的点位的个数，求X 的分布列和数学期望； () 试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小(结论不要求 证明 ) 第 4 页，共 15 页 19.已知椭圆 ?： ? 2 ? 2 + ? 2 ? 2 = 1(? ? 0) ，它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点 分别为 ? 1，?2，若四边形 ?1?2为正方形，且面积为 2 () 求椭圆 E的标准方程； () 设存在斜率不为零且平行的两条直线?1，?2，它们与椭圆 E 分别交于点C， D， M，N，且四边形CDMN 是菱形，求出该菱形周

9、长的最大值 20.已知函数 ?(?) = ?(?- ?)(?) () 若?= 1，求曲线 ?= ?(?) 在点 (1, ?(1)处的切线方程； () 若?(?) 有两个极值点，求实数a 的取值范围； () 若? 1，求 ?(?) 在区间 (0,2?上的最小值 21.数列 A：?1，?2， ?3，?，对于给定的 ?(? 1, ? ? +) ，记满足不等式： ? ?- ? ? ?(?- ?)(? ? +,? ?) 的 ? ?构成的集合为 ?(?) 第 5 页，共 15 页 () 若数列 A：? ?= ? 2，写出集合 ?(2)； () 如果 ?(?)(?+,? 1)均为相同的单元素集合，求证：数列

10、? 1，?2， ? ?，为等差数列； () 如果 ?(?)(?+,? 1)为单元素集合，那么数列? 1，?2， ，?，还是等差 数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例 第 6 页，共 15 页 答案和解析 1.【答案】 D 【解析】 解： ?= ?|? 1，?= -1, 0，1，2， ?= 2 故选： D 可以求出集合A，然后进行交集的运算即可 本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题 2.【答案】 B 【解析】 解：函数 ?(?) = ?-2 ? 2+1 ， 令 ?-2 ? 2+1 0，得 ? - 2 0， 解得 ?2， 所以 ?(?)

11、 的定义域为 2, +) 故选： B 根据二次根式被开方数大于或等于0，列不等式求出解集即可 本题考查了根据二次根式被开方数大于或等于0求函数定义域的问题，是基础题 3.【答案】 A 【解析】 解： 2 1+? = 1 - ? ， 2 = (1 + ?)(1 - ?) = 1 + ? + (?- 1)? ， 1 + ?= 2 ?- 1 = 0，即 ?= 1 故选： A 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求解 a 值 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题 4.【答案】D 【解析】 解：双曲线 ?：? 2 - ? 2 ? 2= 1?(?

12、0)的一条渐近线 ?= ?与直线 ?= 2?+ 1平 行， 可得 ?= 2 故选： D 利用双曲线的渐近线方程，得到关系式，求解即可 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题 5.【答案】 A 第 7 页，共 15 页 【解析】 解：由三视图知，几何体是一个三 棱锥， ? 1- ? ， 根据三棱锥的三视图的面积，设出三棱锥两 两垂直的三条侧棱分别是? = 4，? = 3，? 1= 2 三棱锥的体积是 1 3 1 2 4 3 2 = 4 故选： A 几何体是一个三棱锥，根据三视图的数据，画出直观图，求解体积即可 本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原平面图形，是基础题

13、6.【答案】 D 【解析】 解： ? 0，?+ 1 ? 0，?+ ? 0 可得： ABC 成立， D 不成立 故选： D 根据 ? | ? - ? ? ? ? |”? ? ? ? ? ? 0，可得 A 为锐角此时三角形ABC 不一定为锐角三角形 三角形 ABC 为锐角三角形 ? ? 为锐角 三角形 ABC，那么“ | ? ? + ? ? ? ? | | ? -? ? ? ? |”是“三角形ABC 为锐角三角形”的 必要不充分条件 故选： B 三角形 ABC，那么“ | ? ? + ? ? ? ? | | ? -? ? ? ? |”? ? ? ? ? ? 0，可得 A 为锐角进而 判断出结论 本

14、题考查了向量数量积运算性质、简易逻辑的判定方法、三角形的分类，考查了推理 能力与计算能力，属于基础题 第 8 页，共 15 页 9.【答案】 C 【解析】 解：设 ?( ? 2 2 ,?) ， ? 0，所以 PA 的中点 ?( ? 2 +2 4 , ? 2 )， 所以 ? ?= ? 2 ?2+2 4 = 2? 2+?2 = 2 ?+ 2 ? ， 因为 ? + 2 ? 2 2，所以 0 1 ?+ 2 ? 1 2 2 = 2 4 ， 所以 ? ?(0, 2 2 ， 故选： C 设 P 的坐标，看可得PA 的中点 M 的坐标，进而求出OM 的斜率，由均值不等式可得 其取值范围 本题考查抛物线的性质，

15、及均值不等式的性质，属于中档题 10.【答案】C 【解析】 解：由图可知，曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等，故A 不正确； 在曲线上半段中观察到?(?)是先上升后下降，而?(?)是不断变小的，故B 不正确； 捕食者数量最大时是在图象最右端，最小值是在图象最左端，此时都不是被捕食者的 数量的最值处， 同样当被捕食者的数量最大即图象最上端和最小即图象最下端时，也不是捕食者数量 取最值的时候， 所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大和最小值，故C 正确； 当捕食者数量最大时在图象最右端，?(?) (25,30) ，?(?) (0,50) ， 此时二者总和?(?) + ?(?) (25,80)

16、，由图象可知存在点?(?) = 10，?(?) = 100， ?(?) + ?(?) = 110，所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时， 被捕食者数量也会达到最大值，故D 错误， 故选： C 根据图象数形结合，逐一进行分析即可 本题考查的知识点是函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度 11.【答案】 3 【解析】 解： 向量 ? = (?,1)， ? = (1, -2)，? = (2,3) ， ? -? ? = (?- 1,3) ， ? -? ? 与?共线， ?-1 2 = 3 3，解得实数 ?= 3 故答案为： 3 先求出 ? -? ? = (? - 1,3) ，再由 ? - ? ? 与?共线，列方程能求出实数m 本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则和向量共线的性质等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 12.【答案】160 【解析】 解：在 (?+ 2 ? ) 6 的展开式中的通项公式为? ?+1= ?6 ?2?6-2?，令 6 - 2? = 0，求得 ?= 3， 可得常数项为? 6 3 ?2 3 = 160， 故答案为： 160 第 9 页