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1、优质资料推荐下载 优质资料推荐下载1 第三章 导数及其应用第 1 讲 导数的概念及运算练习理 新人教 A 版 基础巩固题组 ( 建议用时： 40 分钟 ) 一、选择题 1. 设曲线ye axln( x1) 在x0 处的切线方程为2xy10，则a( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析ye axln( x1) ，yae ax 1 x1，当 x0 时，ya1. 曲线y e ax ln(x1)在x0 处的切线方程为2xy 10，a1 2，即a3. 故选 D. 答案D 2. 若f(x)2xf(1) x 2，则 f(0) 等于 ( ) A.2 B.0 C. 2 D. 4 解析f(x) 2f(1) 2
2、x，令x1，得f(1) 2， f(0) 2f(1) 4. 答案D 3. (2017西安质测) 曲线f(x) x 3 x3 在点P处的切线平行于直线y2x 1，则P点 的坐标为 ( ) A.(1 ，3) B.( 1，3) C.(1 ，3) 和( 1，3) D.(1 ， 3) 解析f(x) 3x 21，令 f(x) 2，则 3x 212，解得 x 1 或x 1，P(1， 3) 或 ( 1，3)，经检验，点(1，3) ，( 1，3) 均不在直线y2x1 上，故选C. 答案C 4. (2017石家庄调研) 已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e B.e C. 1 e D.1 e
3、 解析yln x的定义域为 (0 ， ) ，且y 1 x，设切点为 ( x0，ln x0) ，则y|xx0 1 x0，切线方程为 yln x0 1 x0( xx0) ，因为切线过点(0 ，0) ，所以 ln x0 1，解得 x0e，故此切线的斜率为 1 e. 答案C 优质资料推荐下载 优质资料推荐下载2 5. (2016郑州质检) 已知yf(x) 是可导函数，如图，直线ykx2 是曲线yf(x) 在x 3 处的切线，令g(x) xf(x) ，g(x) 是g(x) 的导函数，则g(3) ( ) A. 1 B.0 C.2 D.4 解析由题图可知曲线yf(x) 在x 3 处切线的斜率等于 1 3，
4、f (3) 1 3， g(x) xf(x) ，g(x) f(x) xf(x) ，g(3) f(3) 3f(3) ，又由题图可知f(3) 1，所以g(3) 13 1 3 0. 答案B 二、填空题 6. (2015天津卷 ) 已知函数f(x) axln x，x(0 ， ) ，其中a为实数，f(x) 为f(x) 的导函数，若f(1) 3，则a的值为 _. 解析f(x) aln xx1 x a(1 ln x)，由于f(1) a(1 ln 1)a，又f(1) 3，所以a3. 答案3 7. (2016全国卷) 已知f(x) 为偶函数， 当x0 时，f(x) ln( x) 3x， 则曲线yf(x) 在点 (
5、1 ， 3) 处的切线方程是_. 解析设x0，则x 0，f( x) ln x3x，又f(x) 为偶函数，f(x)ln x3x， f(x) 1 x 3， f(1) 2，切线方程为y 2x1. 答案2xy10 8. (2015陕西卷 ) 设曲线ye x 在点 (0 ，1) 处的切线与曲线y1 x( x 0) 上点P处的切线垂 直，则P的坐标为 _. 解析y e x，曲线 ye x 在点 (0 ， 1) 处的切线的斜率k1e 01，设 P(m，n) ，y 1 x( x 0) 的导数为y 1 x 2(x 0) ，曲线y 1 x( x0)在点P处的切线斜率k2 1 m 2(m0) ， 因为两切线垂直，所
6、以k1k2 1，所以m1，n1，则点P的坐标为 (1 ， 1). 答案(1 ，1) 三、解答题 优质资料推荐下载 优质资料推荐下载3 9. (2017长沙调研) 已知点M是曲线y1 3x 32x23x1 上任意一点， 曲线在 M处的切线 为l，求： (1) 斜率最小的切线方程； (2) 切线l的倾斜角的取值范围 . 解(1)yx 24x 3( x2) 21 1， 当x2 时，y 1，y 5 3， 斜率最小的切线过点2， 5 3 ，斜率k 1， 切线方程为3x3y110. (2) 由(1) 得k 1， tan 1， 又0 ， ) ， 0， 2 3 4 ，. 故的取值范围为0， 2 3 4 ， .
7、 10. 已知曲线y 1 3x 34 3. (1) 求曲线在点P(2，4) 处的切线方程； (2) 求曲线过点P(2，4) 的切线方程 . 解(1) P(2 ， 4) 在曲线y 1 3x 34 3上，且 yx 2， 在点P(2，4) 处的切线的斜率为y|x24. 曲线在点P(2 ，4)处的切线方程为y44(x2) ， 即 4xy4 0. (2) 设曲线y 1 3x 34 3与过点 P(2 ， 4)的切线相切于点A x0，1 3x 3 0 4 3 ， 则切线的斜率为y|x x0 x 2 0. 切线方程为y 1 3x 3 0 4 3 x 2 0(xx0) ，即yx 2 0 x2 3x 3 0 4
8、3. 点 P(2 ，4) 在切线上， 4 2x 2 0 2 3x 3 04 3，即 x 3 03x 2 0 40，x 3 0 x 2 04x 2 04 0， x 2 0(x01) 4(x0 1)(x01) 0， (x01)(x02) 20，解得 x0 1 或x02，故所 求的切线方程为xy20 或 4xy40. 能力提升题组 ( 建议用时： 20 分钟 ) 11. 已知f1(x) sin xcos x，fn1(x) 是fn(x) 的导函数，即f2(x) f1(x) ，f3(x) 优质资料推荐下载 优质资料推荐下载4 f2(x) ，fn1(x) fn(x) ，n N *，则 f2 017(x)
9、等于 ( ) A. sin xcos xB.sin xcos x C. sin xcos xD.sin xcos x 解析f1(x) sin xcos x， f2(x) f1(x) cos xsin x， f3(x) f2(x) sin xcos x， f4(x) f3(x) cos xsin x， f5(x) f4(x) sin xcos x， fn(x) 是以 4 为周期的函数， f2 017(x) f1(x) sin xcos x，故选 D. 答案D 12. 已知函数f(x) g(x) x 2，曲线 yg(x) 在点 (1 ，g(1) 处的切线方程为y2x1，则 曲线yf(x) 在点 (
10、1，f(1) 处的切线的斜率为( ) A.4 B. 1 4 C.2 D. 1 2 解析f(x) g(x) 2x. yg(x) 在点 (1 ，g(1) 处的切线方程为y2x1，g (1) 2，f(1) g(1) 21 2 24， 曲线yf(x) 在点 (1 ，f(1) 处的切线的斜率为4. 答案A 13. (2016全国卷) 若直线ykxb是曲线yln x2 的切线， 也是曲线yln(x1) 的切线，则b_. 解析yln x2 的切线为：y 1 x1 xln x1 1( 设切点横坐标为x1). yln(x1) 的切线为：y 1 x21xln( x21) x2 x21( 设切点横坐标为 x2).
11、1 x1 1 x21， ln x11ln （x21） x2 x21， 解得x11 2， x2 1 2， bln x111ln 2. 答案1ln 2 14. 设函数f(x) ax b x，曲线 yf(x) 在点 (2 ，f(2) 处的切线方程为7x4y120. (1) 求f(x) 的解析式； (2) 曲线f(x) 上任一点处的切线与直线x0 和直线yx所围成的三角形面积为定值，并 优质资料推荐下载 优质资料推荐下载5 求此定值 . 解(1) 方程 7x4y 120 可化为y7 4x 3， 当x 2 时，y 1 2. 又 f(x) a b x 2，于是 2a b 2 1 2， a b 4 7 4，
12、 解得 a1， b3. 故f(x) x3 x. (2) 设P(x0，y0) 为曲线上任一点， 由y 1 3 x 2知曲线在点P(x0，y0) 处的切线方程为yy0 1 3 x 2 0 (xx0) ， 即yx0 3 x0 1 3 x 2 0 (xx0). 令x0，得y 6 x0，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为0， 6 x0 . 令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0，2x0). 所以点P(x0，y0) 处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S 1 2 6 x0 |2x0| 6. 故曲线yf(x) 上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为定值，且此 定值为 6.
