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1、第1页（共 24页） 2020 届新高考数学模拟试题（19） 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1设集合|13Axx，| 24Bxx，则(AB) A | 23xxB | 23xxC |14xxD |14xx 2 2 ( 12 i i ) A1B1C iDi 36 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，甲场馆安排1 名， 乙场馆安排2 名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有() A120 种B90 种C60 种D30 种 4日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来
2、测定 时间把地球看成一个球（球心记为)O ，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平 面所成角，点 A处的水平面是指过点A且与 OA 垂直的平面在点A处放置一个日晷，若晷 面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40 ，则晷针与点A处的水平面所成角为( ) A 20B 40C 50D 90 5某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96% 的学生喜欢足球或游泳，60% 的学生喜欢 足球， 82% 的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的 比例是 () A 62%B 56%C 46%D 42% 6基本再生数 0 R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指
3、一个感染者 传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段， 可以用指数模型：( ) rt I te 描述累计感染病例数( )I t 随时间t（单位：天）的变化规律，指 第2页（共 24页） 数增长率 r 与 0 R ，T近似满足 0 1RrT 有学者基于已有数据估计出 0 3.28R，6T据 此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间约为()(20.69)ln A1.2 天B1.8 天C2.5 天D3.5 天 7已知P是边长为 2 的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB 的取值范围是() A ( 2,6)B ( 6,2)C ( 2,4
4、)D ( 4,6) 8若定义在R的奇函数( )f x 在 (,0) 单调递减， 且 f （ 2）0 ，则满足(1) 0 xf x的x的 取值范围是() A 1， 1 3 ， )B 3，10 ， 1C 1，0 1 ， )D 1， 01， 3 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得3 分。 9已知曲线 22 :1C mxny () A若0mn，则 C 是椭圆，其焦点在y轴上 B若0mn，则 C 是圆，其半径为n C若0mn，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 m yx n D若0m，0n，
5、则 C 是两条直线 10如图是函数sin()yx的部分图象，则sin()(x) A sin() 3 xB sin(2 ) 3 xC cos(2) 6 xD 5 cos(2 ) 6 x 11已知0a，0b，且1ab，则 () A 221 2 abB 1 2 2 a b 第3页（共 24页） C 22 loglog2abD2ab 12信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量X所有可能的取值为1，2，n， 且()0(1 i P Xipi，2，)n ， 1 1 n i i p，定义X的信息熵 2 1 ()log n ii i H Xpp ( ) A若1n，则()0H X B若2n，则()H X随着 1
6、 p 的增大而增大 C若 1 (1 i pi n ，2，)n ，则()HX 随着n的增大而增大 D 若2nm ， 随机变量Y所有可能的取值为1， 2，m， 且 21 ()(1 jmj P Yjppj， 2，)m ，则()()H XH Y 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。 13斜率为3 的直线过抛物线 2 :4Cyx 的焦点， 且与 C 交于A，B两点， 则 |AB 14将数列21n与 32n的公共项从小到大排列得到数列 n a，则 n a的前n项和 为 15某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆 弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线
7、 AG 的切点，B是圆弧AB与直线 BC 的切点，四 边形 DEFG 为矩形，BCDG ，垂足为C ， 3 tan 5 ODC，/ /BHDG ，12EFcm ， 2DEcm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为 1cm，则图中阴影部分的面积 为 2 cm 16已知直四棱柱 1111ABCDAB C D 的棱长均为2，60BAD以1D 为球心， 5 为半径 的球面与侧面 11 BCC B 的交线长为 第4页（共 24页） 四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （10 分）在 3ac，sin3cA，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面
8、问 题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC ，它的内角A，B，C 的对边分别为a，b ，c，且 sin3sinAB ， 6 C，_？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （12 分）已知公比大于1 的等比数列 n a满足 24 20aa， 3 8a （1）求 na的通项公式； （2）记 m b 为 n a在区间 (0 ，(*)mmN中的项的个数，求数列 m b的前 100 项和 100 S 19 （12 分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随 机抽查了100 天空气中的2.5PM和 2 S
9、O 浓度（单位： 3 /)gm，得下表： 2 SO 2.5PM 0 ， 50(50 ，150(150， 475 0 ， 35 32184 (35 ， 75 6812 (75 ， 115 3710 （1）估计事件“该市一天空气中2.5PM浓度不超过75，且 2 SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22列联表： 2SO 2.5PM 0 ， 150 (150， 475 0 ， 75 (75 ， 115 （3）根据（2）中的列联表， 判断是否有99% 的把握认为该市一天空气中2.5PM浓度与 2 SO 浓度有关？ 第5页（共 24页） 附： 2 2() ()()()() n
10、 adbc K ab cdac bd 2 ()P Kk 0.0500.0100.001 k3.8416.63510.828 20 （12 分）如图，四棱锥PABCD 的底面为正方形，PD底面 ABCD 设平面PAD与 平面 PBC 的交线为 l （1）证明： l平面 PDC ； （2）已知1PDAD， Q 为 l 上的点，求PB与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值 21 （12 分）已知函数 1 ( ) x f xaelnxlna （1）当ae时，求曲线( )yf x 在点 (1， f （ 1） ) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的 面积； （2）若( ) 1f x，求a的取值范围 22 （
11、12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，且过点(2,1)A （1）求 C 的方程； （2） 点M，N 在 C 上，且 AMAN ，ADMN ，D为垂足证明：存在定点 Q ， 使得 |DQ 为定值 第6页（共 24页） 2020 届新高考数学模拟试题（19） 答案解析 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1设集合|13Axx，| 24Bxx，则(AB) A | 23xxB | 23xxC |14xxD |14xx 【解析】集合|13Axx，| 24Bxx， |14ABxx 故
12、选： C 2 2 ( 12 i i ) A1B1C iDi 【解析】 2(2)(12 )5 12(12 )(12 )14 iiii i iii ， 故选：D 36 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，甲场馆安排1 名， 乙场馆安排2 名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有() A120 种B90 种C60 种D30 种 【解析】因为每名同学只去1 个场馆，甲场馆安排1 名，乙场馆安排2 名，丙场馆安排3 名， 甲场馆从6 人中挑一人有： 1 66种结果； 乙场馆从余下的5 人中挑 2 人有： 2 510种结果； 余下的 3 人去丙场馆； 故共有： 6 1060 种安排
13、方法； 故选： C 4日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定 时间把地球看成一个球（球心记为)O ，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平 面所成角，点A处的水平面是指过点A且与 OA 垂直的平面在点A处放置一个日晷，若晷 面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40 ，则晷针与点A处的水平面所成角为( 第7页（共 24页） ) A 20 B 40 C 50 D 90 【解析】可设A所在的纬线圈的圆心为O ， OO 垂直于纬线所在的圆面， 由图可得OHA 为晷针与点A处的水平面所成角， 又OAO 为 40 且 OAAH ， 在 Rt OHA 中， O
14、AOH ，40OHAOAO ， 故选：B 5某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 96% 的学生喜欢足球或游泳，60% 的学生喜欢 足球， 82% 的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的 比例是 () A 62% B 56% C 46% D 42% 【解析】设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比 为 z， 由题意，可得60 xz，96xyz，82yz，解得46z 该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46% 第8页（共 24页） 故选： C 6基本再生数 0 R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数
15、指一个感染者 传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段， 可以用指数模型：( ) rt I te 描述累计感染病例数( )I t 随时间 t（单位：天）的变化规律，指 数增长率 r 与 0 R ，T近似满足 0 1RrT 有学者基于已有数据估计出 0 3.28R，6T据 此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1 倍需要的时间约为()(20.69)ln A1.2 天B1.8 天C2.5 天D3.5 天 【解析】把 0 3.28R，6T代入 0 1RrT ，可得0.38r， 0.38 ( ) t I te， 当0t时，(0)1I，则 0.38 2 t e
16、， 两边取对数得0.382tln，解得 2 1.8 0.38 ln t 故选： B 7已知P是边长为 2 的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB 的取值范围是() A ( 2,6)B ( 6,2)C ( 2,4)D ( 4,6) 【解析】画出图形如图， | cos,AP ABAPABAP AB，它的几何意义是AB的长度与 AP 在 AB 向量的投影的乘 积 ， 显 然 ，P在 C 处 时 ， 取 得 最 大 值 ， 1 |cos|3 2 ACCABABAB， 可 得 | cos,236AP ABAPABAP AB，最大值为6， 在F处取得最小值， 1 |cos,222 2 AP ABAPABAP AB，最小值为2， P是边长为2 的正六边形ABCDEF 内的一点， 所以 AP AB 的取值范围是( 2,6) 故选：A 第9页（共 24页） 8若定义在R的奇函数( )f x 在 (,0) 单调递减， 且 f （ 2）0 ，则满足(1) 0 xf x的x的 取值范围是() A 1， 1 3 ， )B 3，10 ， 1C 1，01 ， )D 1， 01， 3 【解析】定义在R的奇函数
