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1、投影与视图一知识讲解【学习目标】1 .在观察、操作、想象等活动中增强对空间物体的把握和理解能力；2. 通过实例了解中心投影与平行投影；3. 会画直棱柱、圆柱、圆锥和球的三种视图；4. 能根据三种视图描述简单的几何体.【要点梳理】要点一、投影1. 投影现象物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象.影子所在的平面称 为投影面.2. 中心投影手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，这样的光线照射在物体上所形成的投影，称为中心投影.相应地，我们会得到两个结论：(1) 等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光 源远的物体它的影
2、子长.(2) 等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源 越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点 在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.要点诠释：光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，那么该物体的影子的方 向也发生变化，但光源、物体的影子始终别离在物体的两侧.3. 平行投影1. 平行投影的定义太阳光线可看成平行光线，平行光线所形成的投影称为平行投影.相应地，我们会得到两个结论：等高的物体垂直地面放置时，如图1所示
3、，在太阳光下，它们的影子一样长.等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本 身的长度.2. 物高与影长的关系 在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小 在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到黄昏，物体影子的指向是：西一西北一北一东北一东， 影长也是由长变短再变长. 在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.甲物体的高甲物体的影长 即：乙物体的高-乙物体的影长.利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比方旗杆的高度等. 注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.要点诠释：1. 平行投影
4、是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同 时刻和同一时刻.2. 物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.4、正投影(1)(2)(3)如下图，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2) (3)中，投影线互相平行，形成 平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)， 我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正 投影.I tit t t要点诠释：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.要点二、中心投影与平行投影的区别与联系1. 区别：
5、(1) 太阳光线是平行的，故太阳光下的影子长度都与物体高度成比例；灯光是发散的，灯光下的 影子与物体高度不一定成比例.(2) 同一时刻，太阳光下影子的方向总是在同一方向，而灯光下的影子可能在同一方向，也可能 在不同方向.2. 联系：(1) 中心投影、平行投影都是研究物体投影的一种，只不过平行投影是在平行光线下所形成的投 影，通常的平行光线有太阳光线、月光等，而中心投影是从一点发出的光线所形成的投影，通常状况下, 灯泡的光线、手电筒的光线等都可看成是从某一点发射出来的光线.(2) 在平行投影中，同一时刻改变物体的方向和位置，其投影也跟着发生变化；在中心投影中， 同一灯光下，改变物体的位置和方向，
6、其投影也跟着发生变化.在中心投影中，固定物体的位置和方向, 改变灯光的位置，物体投影的方向和位置也要发生变化.要点诠释：在解决有关投影的问题时必须先判断准确是平行投影还是中心投影，然后再根据它们的具体特点进 一步解决问题.要点三、视图1. 三视图(1) 视图用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图.(2) 三视图在实际生活和工程中，人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一个物体，分别得到这个物 体的三个视图.通常我们把从正面得到的视图叫做主视图，从左面得到的视图叫做左视图，从上面得到 的视图叫做俯视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.2. 三视图之间的关系(1)位置
7、关系一般地，把俯视图画在主视图下面，把左视图画在主视图右面，如图(1)所示.俯视图左视图(2)(2)大小关系三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视 图与俯视图的宽相等的原那么.如图(2)所示.要点诠释：三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯 视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的根底.3. 画几何体的三视图画一个儿何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：(1) 确定主视图的位置，画出主视图；(2) 在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图
8、“长对正”；(3) 在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.几何体上被其他局部遮挡而看不见的局部的轮廓线要画成虚线.要点诠释：画一个儿何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以， 首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线 表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图 的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.4. 由三视图想象几何体的形状由三视图想象儿何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和 左侧面，
9、然后综合起来考虑整体图形.要点诠释：由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯 视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线 想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.【典型例题】类型一、投影的作图与计算C1.如何才能使如下图的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，试画图说明.【答案与解析】(1)如下图.如下图,【总结升华】连结物体顶点与其影长的顶点，如果得到的是
10、平行线，即为平行投影；如果得到相交直线, 那么为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的根本做法.但假设中 心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影长不可能同时与原长相等，所以点光源可以选在两树之 间.特别提醒：易错认为只有平行投影才能使两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等，从而漏 掉上图这一情形.举一反三：【变式】与一盏路灯相对，有一玻璃幕墙，幕墙前面的地面上有一盆花CD和一棵树AB.晚上，幕墙反 射路灯，灯光形成那盆花的影子DF,树影BE是路灯灯光直接形成的，如下图，你能确定此时路灯光 源的位置吗？ 2.（盐城校级模拟）如图，小明与同学合作利用太阳光线测
11、量旗杆的高度，身高1.6m的小明落在 地面上的影长为BC=2.4m（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子EG；（2）假设小明测得此刻旗杆落在地面的影长EG=16m,请求出旗杆DE的高度.【总结升华】此题考查了平行投影，也考查了相似三角形的判定与性质.举一反三：【变式】如图，小亮利用所学的数学知识测量某旗杆AB的高度.（1）请你根据小亮在阳光下的投影，画出旗杆AB在阳光下的投影.（2）小亮的身高为1.72m,在同一时刻测得小亮和旗杆AB的投影长分别为0.86m和6m,求旗杆AB 的高.类型二、三视图3. 如图，分别从正面、左面、上面观察该立体图形，能得到什么平面图形.【总结
12、升华】此题考查了儿何体的三视图的判断.举一反三：【变式】如图，画出这些立体图形的三视图.(1)(2)(3)(4) 4.（惠州校级月考）如图是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小 立方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图.11232【总结升华】此题考查几何体的三视图画法.山几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列 数与俯视图的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字.左视图的列 数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字.类型三、三视图的有关计算Ci.某工厂要对一机器零件外表进行喷漆，设计者给
13、出了该零件的三视图（如下图），请你根据三视图确定其喷漆的面积.左视图【总结升华】由该机械零件的三视图，可想象它是一个组合体，是由一个长方体和一个圆柱体组成.其 外表积是一个长方体的六个面与圆柱体的侧面构成.（圆柱体的上外表补在长方体的上外表被圆柱体遮 挡的局部）.该组合体是由一长方体与一圆柱体组合而成，但不能认为组合体的外表积就是两几何体的表 面积之和.举一反三:【变式】某物体的三视图如图:(1) 此物体是什么体；(2) 求此物体的全面积.I 20 f 1-20 -4040主视图俯视图投影与视图一稳固练习【稳固练习】 一、选择题Z1.如下图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在
14、C处时，他头顶端的影子正好 与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2. 0米，BC=8. 0米，那么旗杆的高度是（）A CBA. 6.4 米 B. 7. 0 米 C. 8.0 米 D. 9.0 米2.（淄博模拟）以下图形中，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）A.3.。或L虹有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6,有三个人从不同的角度观察的结果如图所示.如果记6的对面的数字为a,A. 3 B. 7 C.2的对面的数字为b,D. 11那么a+b的值为（）8那么其主视图是()4.如下图是一个几何体的实物图,5.如下图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为
15、1米，继续往前走3米到达 E处时，测得影子EF的长为2米，王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）A.C. 7.2 米 D. 8 米俯视图6.第6题由n个相同的小正方体堆成的儿何体，其视图如下图，那么n的最大值是（）A. 1813. 19 C. 20 D. 21二、填空题7. 如下图上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，己知甲、乙同学相距1米，甲身高1. 8米，乙身高1. 5米，那么甲的影长是米.第7题第8题8. 如下图，小明在A时测得某树的影长为2m, B时又测得该树的影长为8m,假设两次日照的光线互相垂直，那么树的高度为m.9. 如图，四个几何体中，它们各自的三个视图（主视图、左视图和俯视图）有两个相同，而另外一个不同的几何体是（填写序号）正方体球做柱10. （牡丹
