高三一轮排列组合二项式完整Word版

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1、1 / 23 排列、组合和二项式排列、组合和二项式-高三第一轮复习完整版高三第一轮复习完整版 一、备考知识点：一、备考知识点： 排列数公式 排列 排列应用题 分类计数原理 分步计数原理 排列、组合应用题 组合数公式及性质 组合 组合应用题 二项式系数的性质 二项式定理 二项式定理的应用 二、知识点：二、知识点： 1两个基本原理： （1）分类计数原理：完成一件事，有类办法，有第 1 类办法中有种不同的方法，n 1 m 在第 2 类办法中有种不同的方法，在第类办法中有种不同的方法，那么完成 2 mn n m 这件事共有：种不同的方法 n mmmN 21 （2）分步计数原理：完成一件事，需要分成个步

2、骤，做第 1 步有种不同的方法，n 1 m 做第 2 步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有： 2 mn n m 种不同的方法 n mmmN 21 2排列和排列数公式： （1）排列：从个不同元素中取出个元素按照一定的顺序排成一列，叫n)(nmm 做从个不同元素中取出个元素的一个排列nm （2）排列数：从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从n)(nmm 2 / 23 个不同元素中取出个元素的排列数，记作.nm m n A （3）排列数公式： . 1 !: !123)2)(1( )!( ! ) 1()2)(1( o nnnnA mn n mnnnnA n n m n

3、规定 3组合、组合数公式和性质： （1）组合：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素n)(nmmn 中取出个元素的一个组合m （2）组合数：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n)(nmm 个不同元素中取出个元素的组合数，记作.nm m n C （3）组合数公式： 1C : )!( ! ! ! ) 1()2)(1( ! o n m nm n mnm n m mnnnn m A C 规定 （4）组合数性质： mn n m n CC m n m n m n CCC 1 1 1 1 k n k n nCkC 4二项式定理和二项式系数的性质： （1）二项式定理： nn n n

4、n n n no n n bCbaCbaCaCba 22211 )( 通项公式： rrnr nr baCT 1 （2）二项式系数的性质： 对称性：到二项展开式首末两项距离相等的项的二次式系数相等 单调性：以二项展开式中间项为分界，二项式系数先单调增，后单调减 nn nnn o n CCCC2 21 153142 2 n nnnnn o n CCCCCC 三、重点、难点与教学建议：三、重点、难点与教学建议： 1排列组合应用题是本章的重点和难点，也是高考的重点高考常以选择题或填空 题形式出现，一般难度为中等（有时较难） ，比较抽象、灵活，要求考生能熟练运用分类 计数原理和分步计数原理分析问题，正确

5、区分是排列还是组合，要有较强的思维能力 3 / 23 要解决排列组合应用题这一难点，建议：适当多做练习，多见一些不同类型的问题， 让自己的思维得到充分的训练在练习中，注意归纳总结规律，如：捆绑法；插入法； 隔板法；去杂法等从而收到举一反三的效果“分类”和“分步”是解排列组合应用 题的重要方法，一般是先分类再分步，特别注意分类时要不重复不遗漏，有时分步中还要 分类审题时一定要仔细推敲，准确理解题意后再列式 2二项式定理是本章的又一重点内容，也是高考的重点，高考常以选择题或填空题 形式出现，一般难度不大，大多是考查二项展开式某项（或某项的系数）或系数和，但二 项式定理的应用比较广泛，如计算或化简某

6、些组合式，求余数或证明整除问题，证明等式 或不等式，近似计算等，2001 年高考考查了利用二项式定理证明不等式，难度较大许多 考生感到束手无策，失分较多因此，在高考复习中对二项式定理的有关内容应全面复习， 不能片面，在广度和深度上都应适应高考的要求 1介绍两个基本原理 先考虑下面的问题： 问题 1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一 天中，火车有 4 个班次，汽车有 2 个班次，轮船有 3 个班次那么一天中乘坐 这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？ 因为一天中乘火车有 4 种走法，乘汽车有 2 种走法，乘轮船有 3 种走法， 每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事

7、情所以，一天中乘坐这些交通工具 从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种不同的走法 问题 2：由 A 村去 B 村的道路有 3 条，由 B 村去 C 村的道路有 2 条（见下 图），从 A 村经 B 村去 C 村，共有多少种不同的走法？ 这里，从 A 村到 B 村，有 3 种不同的走法，按这 3 种走法中的每一种走法 到达 B 村后，再从 B 村到 C 村又各有 2 种不同的走法，因此，从 A 村经 B 村去 C 村共有 32=6 种不同的走法 2.排列组合基础知识排列组合基础知识 【基础练习基础练习】 1若则 7 .,6 43 mm CA m 2若则 7 或 4 ., 4 25 2 25 xx

8、CCx 3 466 . n n n n CC 3 21 38 3 分析：由代入计算将 466。1038321nnnn得 4若则 14 ., 877 1nnn CCC n 4 / 23 5设则的个位数字是 3 , !30! 3! 2! 1ss 6不等式的解集为36 3 x ANxxx 且5 【典型例题典型例题】 例 1计算： （1）!332211nn！ （2） 1 1 4 4 3 3 2 2 321 n n A n AAA （3） 2 100 2 4 2 3 2 2 CCCC 解：（1）!)!1(! nnnn 1)!1( !)!1() ! 3! 4() ! 2! 3() ! 1! 2( n nn

9、原式 （2） )!1( 1 ! 1 )!1( 1 1 nnn n A n n n )!1( 1 1 )!1( 1 ! 1 ) ! 3 1 ! 2 1 () ! 2 1 ! 1 1 ( n nn 原式 3 100 2 100 3 100 2 100 2 4 3 4 2 100 2 4 2 3 3 3 )3( CCC CCC CCCC 原式 点评：注意裂项法在求和中的应用 例 2集合8 , 7 , 6,5 , 4 , 3 , 2 , 1BA （1）A 列 B 的映射共有多少个？ （2）A 到 B 且 B 中每一个元素都有原象的映射共有多少个？ 解：（1）A 中每个元素在 B 中的象都有种选择，由分

10、步计数原理，A 到 B 的映射共有 1 3 c 个 551 3 3）（C （2）B 中每个元素都有原象，只可能二类情况：一类是 A 中的 3 个元素与 B 中的 1 个元素对应，A 中另 2 个元素与 B 中另 2 个元素一一对应；一类是 A 中的 1 个元素与 B 中的 1 个元素对应，A 中剩下的 4 个元素平均分为 2 组分别与 B 中另 2 个元素对应，故 A 到 B 且 B 中每个元素都有原象的映射共有个150 2 2 2 4 1 3 1 5 2 2 1 3 3 5 CCCCACC 5 / 23 点评：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的两个基本原理学生应 熟练掌握，而映射又是学生

11、的薄弱环节在例 2 的教学中，教师应先复习一下 有关映射的概念，再启发学生如何分析，最后利用两个基本原理解决问题，切 忌操之过急 3. 排列组合应用题排列组合应用题 历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有 某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的 内容和情景是多种多样的，而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法 有：一般方法和特殊方法两种。 一般方法有：直接法和间接法。 （1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可 用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。 （2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据

12、 A=I 且 A = 的原理， 采用排除的方法来获得问题的解决。 特殊方法： （1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元 素或位置。 （2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘 成小组，组内外分别排列。 （3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分 离的站好实位，在空位上进行排列。 （4）其它方法。 下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. . 1.1.相邻问题捆绑法相邻问题捆绑法: :题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元 素参与排列. 例 1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右

13、边，那, ,A B C D E,A BBA 么不同的排法种数有 A、60 种 B、48 种 C、36 种 D、24 种 解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于 4 人的全排列，,A BBA 种，答案：. 4 4 24A D 2.2.相离问题插空排相离问题插空排: :元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元 素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种 解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为种，再用甲乙去插 6 个空位

14、有种， 5 5 A 2 6 A 不同的排法种数是种，选. 52 56 3600A A B 6 / 23 3.3.定序问题缩倍法定序问题缩倍法: :在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用 缩小倍数的方法. 例 3.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不, ,A B C D EBA,A B 相邻）那么不同的排法种数是 A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种 解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元BABA 素全排列数的一半，即种，选. 5 5 1 60 2 A B 4.4.标号排位问题分步法标号排位问题分步法: :把元素排到指定位置上，可

15、先把某个元素按规定排入， 第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成. 例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数， 则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种 解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对 应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一 种填法，共有 331=9 种填法，选.B 5.5.有序分配问题逐分法有序分配问题逐分法: :有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分 组法. 例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2

16、 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中 选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是 A、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种 解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙 项任务，第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有 种，选. 211 1087 2520C C C C （2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则 不同的分配方案有 A、种 B、种 C、种 D、种 444 1284 C C C 444 1284 3C C C 443 1283 C C A 444 1284 3 3 C C C A 答案：.A 6.6.全员分配问题分组法全员分配问题分组法: : 例 6.（1）4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不 同的保送方案有多少种？ 解析：把四名学生分成 3 组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有 2 4 C 种，故共有种方法. 3 3 A 23 43 36C A 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分