【高考数学】2010年普通高等学校招生全国统一考试真题及解析-文科福建

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1、2010年高考试题数学试题(文史类)-福建卷第I卷(选择题 共60分)1. 若集合A=x|1x3,B=x|x2,则AB等于A x | 2x3 B x | x1 C x | 2x3 D x | x22. 计算12sin222.5的结果等于A.1/2 B. /2 C/3 D/23. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其侧面积等于A. B.2C.2 D.64. i是虚数单位,(1+i)/(1-i))4等于A.i B.-i C.1 D.-15. 若x,yR,且,则z=x+2y的最小值等于A.2 B.3 C.5 D.96. 阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的i值等于A.2 B.3

2、 C.4 D.57. 函数f(x)= 的零点个数为A.2 B.2 C.1 D.08.若向量a=(x,3)(xR),则“x=4”是“| a |=5”的A.充分而不必要 B.必要而不充分 C充要条件 D.既不充分也不必要条件9.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是A.91.5和91.5 B.91.5和92 C 91和91.5 D.92和9210.将函数f(x)=sin(x+)的图像向左平移/2个单位,若所得图像与原图像重合,则的值不可能等于A.4 B.6 C.8 D.1211.若点O和点F分别为椭圆x2/4 +y2/3 =1的中心和左焦点,点P为椭圆

3、上点的任意一点,则的最大值为A.2 B.3 C.6 D.812.设非空集合S=x | mxl满足:当xS时,有x2S . 给出如下三个命题:若m=1,则S=1;若m=1/2 ,则1/4 l 1; l=1/2,则/2m0其中正确命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3第II卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 把答案填在答题卡的相应位置.13.若双曲线x2 / 4y2 / b2=1 (b0) 的渐近线方程为y=1/2 x ,则b等于 .14.将容量为n的样本中的数据分成6组. 绘制频率分步直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1,且前

4、三组数据的频率之和等于27,则n等于 .15. 对于平面上的点集,如果连接中任意两点的线段必定包涵,则称为平面上的凸集,给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界): 其中为凸集的是 (写出所有凸集相应图形的序号).16.观察下列等式: cos2=2 cos2 1; cos 4=8 cos4 8 cos2 +1; cos 6=32 cos6 48 cos4 18 cos2 1; cos 8= 128 cos8256cos6 160 cos4 32 cos2 1; cos 10=mcos101280 cos81120cos6 ncos4 p cos2 1;可以推测,mn+p= .三、解答题:

5、本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)数列a n中,a 1 =1/3,前n项和S n 满足S n+1 S n =(1 / 3)n + 1 (n)N *.(I)求数列a n的通项公式a n 以及前n项和S n(II)若S 1,t(S 1+ S 2),3(S 2+ S 3)成等差数列,求实数t的值.18.(本小题满分12分)设平面向量a m =(m,1),b n =(2,n),其中m,n1,2,3,4.(I)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果;(II)记“使得a m (a mb n)成立的(m,n)”为事件A,求事件A发生的概率.19.(本

6、小题满分12分) 已知抛物线C的方程C:y 2 =2 p x(p0)过点A(1,-2).(I)求抛物线C的方程,并求其准线方程;(II)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l 的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由。20.(本小题满分12分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1 中,E,H分别是棱A1B1,D1C1上的点(点E与B1 不重合),且EHA1 D1. 过EH的平面与棱BB1 ,CC1 相交,交点分别为F,G。(I) 证明:AD平面EFGH;(II) 设AB=2AA1 =2 a .在长方体ABCDA1B1C1D1

7、内随机选取一点。记该点取自几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p,当点E,F分别在棱A1B1上运动且满足EF=a时,求p的最小值.21. (本小题满分12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口的O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(I) 若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(II) 为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;(III) 是否存在v,使

8、得小艇以v海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定v的取值范围;若不存在,请说明理由.22(本小题满分14分)已知函数的图像在点P(0,f(0)处的切线方程为.()求实数a,b的值;()设是上的增函数. ()求实数m的最大值; ()当m取最大值时,是否存在点Q,使得过点Q的直线能与曲线围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.参考答案选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分60分.1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D填空题:本大题考查

9、基础知识和基本运算. 每小题4分,满分16分. 13.1 14.60 15. 16.962三、 解答题:本大题共6小题;共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.本小题主要考查数列、等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想.满分12分.解:()由S n+1 S n =()n + 1得 (nN *);又,故(nN *)从而(nN *).()由()可得,从而由S 1,t(S 1+ S 2),3(S 2+ S 3)成等差数列可得:,解得t=2.18.本小题主要考查概率、平面向量等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查化归与转化思想、必然与或

10、然思想.满分12分.解:()有序数组(m,n)的吧所有可能结果为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个. ()由得,即.由于1,2,3,4,故事件A包含的基本条件为(2,1)和(3,4),共2个.又基本事件的总数为16,故所求的概率.19.本小题主要考查直线、抛物线等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.满分12分.解:()将(1,-2)代入,所以. 故所求的抛物线

11、C的方程为,其准线方程为.()假设存在符合题意的直线l ,其方程为y=2x + t ,由,得y2 2 y 2 t=0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以得=4+8 t,解得t 1/2 .另一方面,由直线OA与l的距离d=,可得=,解得t=1.因为1-,),1,),所以符合题意的直线l 存在,其方程为2x+y-1 =0.20.本小题主要考察直线与直线、直线与平面的位置关系,以及几何体的体积、几何概念等基础知识,考察空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考察函数与方程思想、形数结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分解法一:(I) 证明:在长方体ABCDA1B1C1D1 中,ADA

12、1 D1 又EHA1 D1 ,ADEH.AD平面EFGHEH 平面EFGHAD/平面EFGH.(II) 设BC=b,则长方体ABCDA1B1C1D1 的体积V=ABADAA1 =2a2b,几何体EB1F-HC1G的体积V1 =(1/2EB1 B1F)B1C1 =b/2EB1 B1 FEB12 + B1 F2=a2 EB12 + B1 F2 (EB12 + B1 F2 )/2 = a2 / 2,当且仅当EB1 =B1 F=/2 a时等号成立从而V1 a2b /4 .故 p=1-V1/V 7/8解法二:(I) 同解法一(II) 设BC=b,则长方体ABCDA1B1C1D1 的体积V=ABADAA1

13、 =2a2b ,几何体EB1F-HC1G的体积V1=(1/2 EB1 B1 F)B1C1 =b/2 EB1 B1 F设B1EF=(090),则EB1 = a cos,B1 F =a sin故EB1 B1 F = a2 sincos= ,当且仅当sin 2=1即=45时等号成立.从而p=1- V1/V=7/8,当且仅当sin 2=1即=45时等号成立.所以,p的最小值等于7/821.本小题主要考察解三角形、二次函数等基础知识,考察推断论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识,考察函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.满分12分.解法一:(I)设相遇时小艇的航行距离为S海里,则S= = = 故t=1/3时,S min = ,v= =30即,小艇以30海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离

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