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1、对面积的曲面积分(41),第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分,第十章,对面积的曲面积分(41),一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,对面积的曲面积分(41),1.定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,f (x, y, z) 是定义在 上的一,个有界函数
2、,或第一类曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积,函数, 叫做积分曲面.,对面积的曲面积分(41),则对面积的曲面积分存在., 对积分域的可加性.,则有, 线性性质.,在光滑曲面 上连续,2. 对面积的曲面积分性质., 积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,对面积的曲面积分(41),3. 几何意义与物理意义.,据此定义, 曲面形构件的质量为,曲面面积为,对面积的曲面积分(41),定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明: 由定义知
3、,对面积的曲面积分(41),而,(光滑),对面积的曲面积分(41),说明:,可有类似的公式.,1) 如果曲面方程为,2) 若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS,的表达式 ,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的,二重积分.,对面积的曲面积分(41),例1计算,的方程可表为,则,对面积的曲面积分(41),例1续,对面积的曲面积分(41),例2计算,， 为圆锥面,1的方程为：,2的方程为：,解:,对面积的曲面积分(41),例2续,对面积的曲面积分(41),例+. 计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,对面积的曲面积分(41),思考:,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上
4、下两部分,则,对面积的曲面积分(41),例+,设,计算,解: 锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的,投影域为,则,对面积的曲面积分(41),思考: 若例3 中被积函数改为,计算结果如何 ?,对面积的曲面积分(41),练习1. 计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解: 设,上的部分, 则,与,原式 =,分别表示 在平面,对面积的曲面积分(41),练习2计算,其中 是球面,利用对称性可知,解: 显然球心为,半径为,利用重心公式,对面积的曲面积分(41),练习3计算,解: 取球面坐标系, 则,对面积的曲面积分(41),注：计算半径为 a 的球的表
5、面积.,解:,设球面方程为,球面面积元素为,利用球坐标方程.,对面积的曲面积分(41),练习4 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,分析: 若将曲面分为前后(或左右),则,解: 取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,对面积的曲面积分(41),内容小结,1. 定义:,2. 计算: 设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧.,对面积的曲面积分(41),思考与练习,同济P158 题4(1) ;,P184 题2,对面积的曲面积分(41),P184 题. 设,一卦限中的部分, 则有( ).,( 2000 考研 ),对面积的曲面积分(41),P158 题4(1)., 在 xoy 面上的投影域为,这是 的面积 !,对面积的曲面积分(41),P159 题7.,如图所示, 有,对面积的曲面积分(41),
