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1、对面积的曲面积分(19),第四节 重积分的应用,一、立体体积,二、曲面的面积,三、物体的质心,四、转动惯量,五、引力,对面积的曲面积分(19),1. 能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,从积分定义出发 建立积分式,用微元分析法 (元素法),分布在有界闭域上的整体量,3. 解题要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2. 用重积分解决问题的方法,对面积的曲面积分(19),一、立体体积,曲顶柱体的顶为连续曲面,则其体积为,占有空间有界域 的立体的体积为,对面积的曲面积分(19),计算由曲面,解一,用二重积分,与 xoy 面所围成的立体的体积,由对
2、称性得,例1,解二,对面积的曲面积分(19),所围成的立体的体积,解一,（用极坐标）,解二,是柱形区域，用柱坐标,例2,对面积的曲面积分(19),二、曲面的面积,设光滑曲面,则面积 A 可看成曲面上各点,处小切平面的面积 d A 无限积累而成.,设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素),则,对面积的曲面积分(19),故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,若光滑曲面方程为,则有,对面积的曲面积分(19),球面的面积A为上半球面面积的两倍,解,例3 求半径为R的球的表面积,反常积分,对面积的曲面积分(19),例4. 计算双曲抛物面,被柱面,所截,解: 曲面在 xoy 面上投影为,则,
3、出的面积 A .,对面积的曲面积分(19),计算圆柱面,被圆柱面 所截的部分的面积,解,由对称性可知A=8A1,A1 的方程,练习题,对面积的曲面积分(19),三、物体的质心,对面积的曲面积分(19),由元素法知,若薄片是均匀的，重心称为形心.,类似地 设一物体占有空间闭区域 其密度(x y z) 是闭区域上的连续函数 则该物体的质心坐标为,对面积的曲面积分(19),例5. 求位于两圆,和,的质心.,解: 利用对称性可知,而,之间均匀薄片,对面积的曲面积分(19),提示,取半球体的对称轴为z轴, 原点取在球心上,解,例6 求半径为a的均匀半球体的质心,半球体所占空间闭区可表示为 (x y z)
4、| x2y2z2a2 z0,提示,对面积的曲面积分(19),取半球体的对称轴为z轴, 原点取在球心上,解,例6 求半径为a的均匀半球体的质心,半球体所占空间闭区可表示为 (x y z)| x2y2z2a2 z0,对面积的曲面积分(19),四、物体的转动惯量,设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数,该物体位于(x , y , z) 处的微元,因此物体 对 z 轴 的转动惯量:,对 z 轴的转动惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,对面积的曲面积分(19),类似可得:,对 x 轴的转动惯量,对 y 轴的转动惯量,对原点的转动惯量,对面积的曲面
5、积分(19),如果物体是平面薄片,面密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,对面积的曲面积分(19),例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径,解: 建立坐标系如图,(半圆薄片的质量,的转动惯量.,对面积的曲面积分(19),解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则,球体的质量,例8.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.,设球,所占域为,(用球坐标),对面积的曲面积分(19),G 为引力常数,五、物体的引力,设物体占有空间区域 ,物体对位于原点的单位质量质点的引力,利用元素法,在上积分即得各引力分量:,其密度函数,引力元素在三坐标轴上的投影分别为,对面积的曲面积分(19),对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点,的引力分量为,对面积的曲面积分(19),例9. 求半径 R 的均匀球,对位于,的单位质量质点的引力.,解: 利用对称性知引力分量,点,对面积的曲面积分(19),对面积的曲面积分(19),作业： P155 7，9, 10 P175 1，2，5, 11, 13,对面积的曲面积分(19),
