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1、1 圆锥曲线题型归纳圆锥曲线题型归纳 题型一题型一 求曲线的方程求曲线的方程 例例 1 已知 1( 2,0) F ， 2(2,0) F，点P满足 12 | 2PFPF，记点P的轨迹为E求轨迹E的方程 【答案】【答案】1 3 2 2 y x 【解析】【解析】由 1212 | 24 |PFPFFF可知：点P的轨迹E是以 12 ,F F为焦点的双曲线的右支， 由2,22ca， 222 213b ，故轨迹E的方程为）（01 3 2 2 x y x. 【易错点【易错点】 （1）对于双曲线的定义理解片面； （2）如果动点P满足）（ 2121 22FFaaPFPF， 则点P的轨迹是双曲线。但该题已知条件中给
2、出的是“ 12 | 2PFPF”只能表示点P的轨迹是双曲线的 右支，而不是双曲线的全部。 【思维点拨】【思维点拨】利用双曲线解题时，一定要观察是双曲线的全部还是部分。 题型二题型二 定值、定点问题定值、定点问题 例例 2 已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21 过 A(2,0)，B(0,1)两点 (1)求椭圆 C 的方程及离心率； (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边 形 ABNM 的面积为定值 【答案】【答案】(1)x 2 4 y21，e 3 2 (2)2. 【解析】【解析】(1)由题意得a2，b1，
3、 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. 又 c a2b2 3，所以离心率 ec a 3 2 . (2)证明：设 P(x0，y0)(x00，y00)，则 x204y204. 又 A(2,0)，B(0,1)， 所以直线 PA 的方程为 y y0 x02(x2). 令 x0，得 yM 2y0 x02，从而|BM|1y M1 2y0 x02. 直线 PB 的方程为 yy01 x0 x1. 2 令 y0，得 xN x0 y01，从而|AN|2x N2 x0 y01. 所以四边形 ABNM 的面积 S1 2|AN|BM| 1 2 2 x0 y01 1 2y0 x02 错误错误! 2x0y02x04y
4、04 x0y0 x02y02 2. 从而四边形 ABNM 的面积为定值. 【易错点【易错点】(1)想不到设出 P(x0，y0)后，利用点斜式写出直线 PA，PB 的方程不会由直线 PA，PB 的方程 求解|BM|，|AN|； (2)不知道四边形的面积可用 S1 2| AN|BM|表示； (3)四边形 ABNM 的面积用 x0，y0表示后，不会变形、化简，用整体消参来求值 【思维点拨】【思维点拨】第(1)问由 a2，b1，c 3，解第一问； 第(2)问画草图可知 ANBM，四边形 ABNM 的面积为1 2|AN|BM|，设点 P(x 0，y0)，得出 PA，PB 的方程，进 而得出 M，N 的坐
5、标，得出|AN|，|BM|，只需证明1 2|AN|BM|是一个与点 P 的坐标无关的量即可 例例 3 已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，四点 P 1(1,1)，P2(0，1)，P3 2 3 1，P4 2 3 , 1，中恰有三点在椭圆 C 上 (1)求 C 的方程； (2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定 点 【答案】【答案】(1)x 2 4 y21(2)(2，1) 【解析】【解析】(1)因为 P3 2 3 1，P4 2 3 , 1，所以 P3，P4两点关于 y 轴对称， 故由题设知椭圆 C
6、经过 P3，P4两点 又由 1 a2 1 b2 1 a2 3 4b2知，椭圆 C 不经过点 P 1， 所以点 P2在椭圆 C 上. 因此 1 b21， 1 a2 3 4b21， 解得 a24， b21. 故椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. 3 (2)证明：设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2. 如果 l 与 x 轴垂直，设 l：xt， 由题设知 t0，且|t|0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1x2 8km 4k21，x 1x24m 24 4k21 . 而 k1k2y11 x1 y21 x2 kx1m1 x1 kx2m1 x2 1212 12 21kx
7、 xmxx x x . 由题设 k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0. 即(2k1)4m 24 4k21 (m1)8km 4k210. 解得 km1 2 . 当且仅当 m1 时，0，于是 l：ym1 2 xm， 即 y1m1 2 (x2)， 所以 l 过定点(2，1). 【易错点】【易错点】(1)观察不出 P3，P4对称，忽视对称性导致判断失误; (2)不会用点的坐标代入方程判断 P1，P2是否在椭圆上而滞做; (3)联立直线 l 与椭圆 C 的方程，计算化简失误而滞做; (4)利用 k1k21 运算变形不明确变形目标，导致化简不出 k，m 的关系 4 【思维点拨】【思维点拨
8、】第(1)问利用椭圆的性质，易排除点 P1(1,1)不在椭圆上，从而求椭圆方程； 第(2)问分类讨论斜率是否存在，若存在，设 l：ykxm，利用条件建立 k，m 的等量关系，消参后再表示 出直线 l 的方程可证明 题型三最值（范围）问题题型三最值（范围）问题 例例 4 已知椭圆 C：x 2 a2y 21(a0)，F1，F2分别是其左、右焦点，以 F1F2为直径的圆与椭圆 C 有且仅有两 个交点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设过点 F1且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P，点 P 横坐标的取值范围是 1 4，0，求线段 AB 长的
9、取值范围 【答案】【答案】(1)x 2 2 y21(2) 3 2 2 ，2 2 【解析】【解析】(1)因为以 F1F2为直径的圆与椭圆 C 有且仅有两个交点，所以 bc1，a 2， 所以椭圆 C 的方程为x 2 2 y21 (2)根据题意，直线 A，B 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，与x 2 2 y21 联立， 消去 y 并整理得(12k2)x24k2x2k220， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 M(x0，y0)， 则 x1x2 4k2 12k2，x 1x22k 22 12k2， y1y2k(x11)k(x21)k(x1x22) 2k 1
10、2k2，即 M 2k2 12k2， k 12k2. 则直线 AB 的垂直平分线为 y k 12k2 1 k x 2k2 12k2，令 y0，得 xP k2 12k2， 因为 xP 1 4，0，即1 4 k2 12k20， 所以 0k21 2， 2 2 1212 14ABkxxx x 2 22 2 22 422 14 2121 kk k kk 5 2 2 1 2 2 21 k k 2 1 1 12k2. 1 2 1 2k211， |AB| 3 2 2 ，2 2 【易错点】【易错点】运算错误，由于运算方法、运算技巧以及自身运算能力差，都是出错原因。 【思维点拨】【思维点拨】与圆锥曲线有关的取值范围
11、问题的三种解法： （1）数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解 （2）构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解 （3）构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域 题型四存在性问题题型四存在性问题 例例 5.如图，椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率是 2 2 ，点 P(0，1)在短轴 CD 上，且PCPD1. (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)设 O 为坐标原点， 过点 P 的动直线与椭圆交于 A， B 两点 是否存在常数， 使得OAOB PAPB为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由 【答案】【
12、答案】(1)x 2 4 y 2 2 1(2)3，理由见解析 【解析】【解析】(1)由已知，点 C，D 的坐标分别为(0，b)，(0，b) 又点 P 的坐标为(0,1)，且PCPD1， 于是 1b21， c a 2 2 ， a2b2c2. 解得 a2，b 2. 所以椭圆 E 的方程为x 2 4 y 2 2 1. (2)当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ykx1，A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) 联立 x2 4 y 2 2 1， ykx1 得(2k21)x24kx20. 其判别式(4k)28(2k21)0， 所以 x1x2 4k 2k21，x 1x2 2 2k2
13、1. 从而，OAOBPAPB x1x2y1y2x1x2(y11)(y21) 6 (1)(1k2)x1x2k(x1x2)1 2 2 2421 21 k k 1 2k212. 所以，当1 时， 1 2k2123. 此时，OAOBPAPB3 为定值 当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD. 此时，OAOBPAPBOCODPCPD2. 当1 时，OAOBPAPB3，为定值 综上，存在常数1，使得OAOBPAPB为定值3. 【思维点拨】【思维点拨】解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出 矛盾就不存在，否则就存在。 例例 6 已知椭圆 C：x 2
14、a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F 2(2,0)，点 P 1， 15 3在椭圆 C 上 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)是否存在斜率为1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M， N 两点， 使得|F1M|F1N|(F1为椭圆的左焦点)？若存在， 求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 【答案】【答案】(1)x 2 6 y 2 2 1(2)不存在满足条件的直线 l 【解析】【解析】(1)法一：椭圆 C 的右焦点为 F2(2,0)， c2，椭圆 C 的左焦点为 F1(2,0) 由椭圆的定义可得2a 22 221515 1212 33 96 9 24 9 2 6， 解得a 6， b2a
15、2c2642. 椭圆 C 的标准方程为x 2 6 y 2 2 1. 法二：椭圆 C 的右焦点为 F2(2,0)， c2，故 a2b24， 又点 P 1， 15 3在椭圆 C 上，则 1 a2 15 9b21， 故 1 b24 15 9b21， 化简得 3b44b2200，得 b22，a26. 7 椭圆 C 的标准方程为x 2 6 y 2 2 1. (2)假设存在满足条件的直线 l，设直线 l 的方程为 yxt， 由 x2 6 y 2 2 1， yxt 得 x23(xt)260， 即 4x26tx(3t26)0， (6t)244(3t26)9612t20， 解得2 2t2 2. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x23t 2 ，x1x23t 26 4 ， 由于|F1M|F1N|，设线段 MN 的中点为 E， 则 F1EMN，故 kF1E 1 kMN1， 又 F1(2,0)，E x1x2 2 ，y1y2 2， 即 E 3t 4 ，t 4 ， kF1E t 4 3t 4 2 1，解得 t4. 当 t4 时，不满足2 2t2 2， 不存在满足条件的直线 l. 【思维点拨】【思维点拨】解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元 二次方程，利用判别式得出是否有解
