湖北省八所名校2019届高三第一次联考试题(数学理)

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1、湖北省鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中八中 荆州中学孝感高中襄阳四中襄阳五中 2019 届高三八校第一次联考 数学(理科)试题 2018 年 12 月 12 日下午 15:0017:00 第卷 一、选择题:本题共12 小题,每小题5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的 . 1.已知集合| 1Axx,3sin1,By yx,则AB() A.1,2B.1,)C.(,11,2D.0,1 2.已知复数 3 2 i z i (i为虚数单位) ,则z的虚部为() A. 3 2 B. 3 2 C. 3 2 iD. 3 2 i 3.设 2018 log2019a, 2019 log20

2、18b, 1 2019 2018c,则, ,a b c的大小关系是() A.abcB.acbC.cabD.cba 4.设函数 540 ( ) 0 3 x xx f x x , 若角的终边经过点( 3, 4)P, 则 ( c o s ) ff的值为 () A.1 B.3 C.4 D.9 5.已知公差不为0的等差数列 n a的首项 1 3a,且 247 ,aa a成等比数列,数列 n b的前n项 和 n S满足2 n n SnN,数列 n c满足, nnn ca bnN,则数列 n c的前3项和为 () A.31 B.34 C.62 D.59 6.下列有关命题的说法正确的是() A.(0,)x,使

3、得 2 sin2 sin x x 成立 . B.命题p:任意xR,都有cos1x,则p:存在 0 xR,使得 0 cos1x. C.命题 “ 若2a且2b,则4ab且4ab” 的逆命题为真命题. D.若数列 n a是等比数列, * , ,m n pN则 2 mnp aaa是2mnp的必要不充分条件. 7.设不等式组 0 220 1 xy xy x 表示的平面区域为w,则() A.w的面积是 9 2 B. w内的点到x轴的距离有最大值 C. 点( ,)A x y在w内时,2 2 y x D. 若点 00 (,)p xyw,则 00 2xy 8.将向量列 111222 (,),(,),(,) nn

4、n ax yaxyaxy 组成的系列称为向量列 n a ,并记向量列 n a 的前n项和为 123nn Saaaa ,如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的 和都等于同一个向量 p,那么称这样的向量列为等和向量列。已知向量列 n a 为等和向量列, 若 1 (1,0),(1,1)ap ,则与向量 31 S 一定是垂直的向量坐标是() A.(16,15)B. (31,30)C. ( 15,16)D.( 16,15) 9.函数( )yf x的定义域为R,且( )( )()xf xfxa其中0a,a为常数,若对任意 1212 ,()x xxx都有 12 12 ()() 0 xx xx ,则函数(

5、)yf x的图象可以是() 10.已知函数 234567 ( )1 234567 xxxxxx f xx,若函数( )(3)h xf x的零点都在 区间( , )(, ,)a bab a bZ内,当ba取最小值时,(21) b xdx a 等于() A3 B4 C5 D6 11.已知( )sin() 3 fxx同时满足下列三个条件: 12 ()()2f xf x时 12 xx最小值为 2 , () 3 yf x是奇函数, (0)() 6 ff. 若( )f x在0,t上没有最大值,则实数t的范围是() A0, 6 B 11 0, 6 C 11 , 6 12 D 511 , 612 12. 已知

6、函数 2 ln11h xaxax0a,在函数h x图象上任取两点,A B,若直 线AB的斜率的绝对值都不小于5,则实数a的取值范围是() A.,0B. 23 6 (, 4 C. 23 6 (, 4 D. 23 6 (,0) 4 第卷 二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置、 书写不清、模棱两可均不得分. 13. 已知向量( ,0),( 1,2)atb ,若2a b,则|2 |ab . 14. 公元前 6 世纪, 古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金 分 割 值 约 为0.618 , 这 一 数 值 也 可 表 示 为

7、2sin18m. 若 2 4mn, 则 2 12 c o s2 7 3m n . 15. 已 知 定 义 在 实 数 集 R上 的 函 数( )f x 满 足(1)0f, 且( )fx的 导 函 数( )fx满 足 ()10fx,则不等式(ln)ln1fxx的解集为.(结果用区间 表示) 16.已知各项均为正数的两个无穷数列 n a和 n b满足: 1 22 nn n nn ab a ab , 1 2 n n n b bn a N,且 n a是等比数列, 给定以下四个结论:数列 n a 的所有项都不大于2; 数列 n b的所有项都大于2; 数列 n a的公比等于 1; 数列 n b 一定是等比

8、数列。其中正确结论的序号是. 三、 解答题:本题共6 小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分12 分)在ABC中,已知点D在边BC上,且 0AD AC , 2 2 cos 3 DAB, 3 2AB. (1)若4 3BC,求sinC的值; (2)若 2AC ,求BC边上的中线AE的长 . 18. (本题满分12 分)如图所示,四棱锥PABCD中, E P C D B A PADABCDPA=PD=2面面,四边形ABCD为等腰梯形, 1 /,1 2 BCAD BCCDAD,E为PA的中点 . (1)求证:B/EPCD面平. (2)求面PAD与平面PCD所成的二面角的正弦

9、值 . 19. ( 本题满分12 分)首届中国国际进口博览会于2018 年 11 月 5 日至 10 日在上海的国家会展 中心举办。国家展、企业展、经贸论坛、高新产品汇集, 首届进博会亮点纷呈。一个更加开 放和自信的中国,正用实际行动为世界构筑共同发展平台,展现推动全球贸易与合作的中国方 案。 某跨国公司带来了高端智能家居产品参展,供采购商洽谈采购,并决定大量投放中国市场。 已知该产品年固定研发成本30 万美元,每生产一台需另投入90 美元。设该公司一年内生产该 产品x万台且全部售完,每万 台的销售收入 为 ( )G x 万美元, 2 4 03,02 0 ( )30006000 80,20 +

10、1(1) xx G x x xx x (1)写出年利润S(万美元)关于年产量x(万台)的函数解析式;(利润销售收入成本) (2)当年产量为多少万台时,该公司获得的利润最大?并求最大利润. 20. (本题满分12 分) 已知点 41 (4,0),(,0) 8 FH,ABC的两顶点 1 ( 2,0),(,0) 2 AB,且点C 满足2CACB (1)求动点C的轨迹方程; (2)设(5,0),(0,3),(,)abOCa OCb OC,求动点C的轨迹方程; (3)过点F的动直线l与曲线C交于不同两点,M N, 过点M作y轴垂线l,试判断直线l与 直线NH的交点是否恒在一条定直线上?若是,求该定直线的

11、方程,否则,说明理由. 21. (本题满分12 分)已知函数 ln x u x x ,不等式 1 1 1 1 p x p x 对0,x恒成立 . (1)求函数u x的极值和函数u x的图象在点 1,1u处的切线方程; (2)求实数p的取值的集合T; (3)设 0 pT,函数 0 2 logp m fxmxx x , 2 2e g x x ,其中e为自然对数的底数, 若关于x的不等式 4 20 m g xfxmx x 至少有一个解 0 x1,6,求m的取值范围 请考生在第2223 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分10 分)选修44,极坐标与参数方程 已知在

12、平面直角坐标系xoy中,O为坐标原点,曲线 cos22 sin : sin22 cos x C y (为参数), 在以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同单位长度的极坐标系中,直 线l的极坐标方程为cos()2 3 . (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程; ( 2 ) 直 线l与x轴 的 交 点P, 经 过 点P的 直 线m与 曲 线C交 于,A B两 点 , 若 4 3PAPB,求直线m的倾斜角 . 23.(本小题满分10 分)选修45,不等式选讲 已知函数 202 ( ), 8 2 xx f x x x ()()2gxa fxx. (1)当0a时,若( )5g

13、 xbx对任意(0,)x恒成立,求实数b的取值范围; (2)当1a时,求不等式( )2g x的解集 . 数学(理科)试题 参考答案 一、选择题: 15 ABCBB 6-10 DCCAB 11-12 DB 12. 解析: 2 21 0 axa hx x ,h x在0,单调递减 12 1122 12 ,5 h xh x A xyB xy xx , 设 121122 0,55xxh xxh xx则 设5 ,fxh xx则fx在0 +,上单调递减 则 2 215 0 axxa fx x 对0,x恒成立 则 2 2150axxa对0,x恒成立则 2 0,88250aa即 解之得 23 6 4 a或 23

14、 6 4 a又0a,所以 23 6 4 a 二、填空题: 13. 4 214. 1 6 15. (0, )e16. 16. 解析:因为 2 2 22 2 nn nnnn ab abab 所以 1 12 n a下证等比数列 n a的公比1q 若1q,则 121 1 2 2,log2 n q aana q a 则当时,此时 1 2 n a,与 矛盾 若若01q,则 121 1 1 1,log1 n q aanaq a 则当时,此时 1 1 n a,与矛盾 故1q故 1 1 2 nn bb a 下证 1 2a, 若 1 2a则 123 1 2 1,bbb a 于是 由 22 1111 1 2 22

15、1 1 2 1 n n n aaaab ab a ab 得所以 123 ,b b b中至少有两项相同,矛盾 所以 1 2,2 n ab所有所以正确的序号是 三、解答题: 17.(1) 2 2 sinsin(90)cos 3 BACDABDAB由条件得 3 24 33 ,sin sin32 2 3 ABCC C 在中则,. ,6 分 (2) 2 2 sin 3 BAC由(1)BAC为钝角 1 cosBA 3 C 11 E=+CE=+C 24 AABAAABA 22 由得()()(),8 分 又2,3 2ACAB,所以2AE,12 分 18. (1).,ADOEO OB取的中点连接 EPAOAD为

16、的中点为的中点,/OEPD又 1 /, 2 BCAD BCAD BCDO四边形是平行四边形/BOCD /,/,OEPD BOCD OEBOEBO和是平面内的两条交线 /EBOPCD平面平面,4 分 又BEPCD平面/BEPCD平面,6 分 (2),BCMOM OD OP取的中点以方向为正方向,建立如图所示的空间直角系O-xyz, 3 1 (0,0,1),(0,1,0),(0,1,0),(,0) 22 PADC则 1 (1,0,0)PADn则平面一个法向量的为 , 3 1 (0,1, 1),(,0) 22 PDCD,,8 分 2 0 ( , , ), 31 0 22 yz PCDnx y z xy 设平面一个法向量的为则 2 1,3,1,(1, 3,3)xyzn不妨令则 12 142 coscos,sin 77 n n则 ,12 分 19. 解: (1)当020 x时, 2 ( )(9030)315030SxG xxxx 当20 x时, 3000(2) ( )(9030)1030 1 x SxG xxx x 函数解析式为: 2 315030 ,020 3000(2) 1030 ,20 1

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