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1、双曲线1. 2.标准方程 3.4点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.5PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8设P为双曲线上一点，则PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.9双曲线（a0,b0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.10若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的切线方程是.11若在双曲线（a0,b0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则
2、切点弦P1P2的直线方程是.12AB是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则.13若在双曲线（a0,b0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.14若在双曲线（a0,b0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.15若PQ是双曲线（ba 0）上对中心张直角的弦，则.16若双曲线（ba 0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1) ;(2) .17给定双曲线：（ab0）, ：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M.(ii)对上任一点在上存在唯一的点,使得的任一直角弦都经过点.18设为双曲线（a0,b0）上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1, P
3、P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点的充要条件是.19过双曲线（a0,bo）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.20双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为， .21若P为双曲线（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则（或）.22双曲线（a0,bo）的焦半径公式： , 当在右支上时，,.当在左支上时，,.23若双曲线（a0,b0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1e时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线
4、距离d1与PF2的比例中项.24P为双曲线（a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则,当且仅当三点共线且在左支时，等号成立.25双曲线（a0,b0）上存在两点关于直线：对称的充要条件是.26过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28P是双曲线（a0，b0）上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是.29设A,B为双曲线（a0,b0，）上两点，其直线AB与双曲线相交于,则.30在双曲线中，定长为2m（）的弦中点
5、轨迹方程为31设S为双曲线（a0,b0）的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=，是AB中点，则当时，有,);当时，有.32双曲线（a0,b0）与直线有公共点的充要条件是.33双曲线（a0,b0）与直线有公共点的充要条件是.34设双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记, ,，则有.35经过双曲线（a0,b0）的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则.36已知双曲线（ba0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小
6、值是.37MN是经过双曲线（a0,b0）过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则.38MN是经过双曲线（ab0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦，则.39设双曲线（a0,b0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)的交点N在直线：上.40设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF.41过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双
7、曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.42设双曲线方程,则斜率为k(k0)的平行弦的中点必在直线：的共轭直线上,而且.43设A、B、C、D为双曲线（a0,bo）上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，直线AB与CD相交于P,且P不在双曲线上,则.44已知双曲线（a0,b0）,点P为其上一点F1, F 2为双曲线的焦点，的内（外）角平分线为，作F1、F2分别垂直于R、S，当P跑遍整个双曲线时，R、S形成的轨迹方程是().45设ABC三顶点分别在双曲线上，且AB为的直径，为AB的共轭直径所在的直线，分别交直线AC、BC于E和F，又D为上一点，则CD与双曲线
8、相切的充要条件是D为EF的中点.46过双曲线（a0,b0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.47设A（x1 ,y1）是双曲线（a0,b0）上任一点，过A作一条斜率为的直线L，又设d是原点到直线 L的距离, 分别是A到双曲线两焦点的距离，则.48已知双曲线（a0,b0）和（ ），一条直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则AB=|CD.49已知双曲线（a0,b0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则或.50设P点是双曲线（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .51设过双曲线的实轴
9、上一点B（m,o）作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：于M，N两点,则.52L是经过双曲线（a0,b0）焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是双曲线的两个顶点，e是离心率,点，若，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.53L是经过双曲线（a0,b0）的实轴顶点A且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线的准线与x轴交点,点，e是离心率，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且或（当且仅当时取等号）.54L是双曲线（a0,b0）焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲线准线与x轴交点，H是L与x轴的交点，点，,离心率为e，半焦距为c，则为锐角且或（
10、当且仅当时取等号）.55已知双曲线（a0,b0），直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交于A、B两点，将A、B与双曲线左焦点F1连结起来，则（当且仅当ABx轴时取等号）.56设A、B是双曲线（a0,b0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, ,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1).(2) .(3) .57设A、B是双曲线（a0,b0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区域）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，则.58设A、B是双曲线（a0,b0）实轴上分别位于双曲线一支内（含焦点的区
11、域），外部的两点，（1）若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，（若B P交双曲线这一支于两点，则P、Q不关于x轴对称），且，则点A、B的横坐标、满足；（2）若过B点引直线与双曲线这一支相交于P、Q两点，且,则点A、B的横坐标满足.59设是双曲线的实轴的两个端点，是与垂直的弦，则直线与的交点P的轨迹是双曲线.60过双曲线（a0,b0）的右焦点作互相垂直的两条弦AB、CD,则；61到双曲线（a0,b0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.62到双曲线（a0,b0）的实轴两端点的距离之比等于（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆.63到双曲线（a0,b0）的两准线和x轴的
12、交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆（e为离心率）.64已知P是双曲线（a0,b0）上一个动点，是它实轴的两个端点,且,，则Q点的轨迹方程是.65双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66设双曲线（a0,b0）实轴的端点为,是双曲线上的点过P作斜率为的直线，过分别作垂直于实轴的直线交于,则（1）.（2）四边形面积趋近于.67已知双曲线（a0,b0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF 的中点.68OA、OB是双曲线（a0,b0,且）的两条互相垂直的弦，
13、O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点.(2) 以O A、O B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是（除原点）。69是双曲线（a0,b0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点.（2）以P A、P B为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是(除P点).70如果一个双曲线虚半轴长为b，焦点F1、F2到直线的距离分别为d1、d2，那么（1），且F1、F 2在异侧直线L和双曲线相切,或是双曲线的渐近线.（2），且F1、F2在L异侧直线和双曲线相离，（3），或F1、F2在L同侧直线L和双曲线相交.71AB是双曲线（a0,b0）的实轴，是双曲线上的动点，过的切线与
14、过A、B的切线交于、两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是.72设点为双曲线（a0,b0）的内部(（含焦点的区域）)一定点，AB是双曲线过定点的任一弦.(1)如,则当弦AB垂直于双曲线实轴所在直线时.(2)如,则当弦AB平行（或重合）于双曲线实轴所在直线时, .73双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切.74双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点.75双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值a+c与c-a.76双曲线焦三角形的非焦顶点到其旁切圆的切线长为定值c-a.77双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之
15、比为常数e(离心率). 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.78双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.79双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.80双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足的距离为双曲线实半轴的长.84双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点.85
