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1、2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题14二次函数解答压轴题（共32题）姓名：_ 班级：_ 得分：_一、解答题1（2021北京中考真题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上（1）若，求该抛物线的对称轴；（2）已知点在该抛物线上若，比较的大小，并说明理由【答案】（1）；（2），理由见解析【分析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得：，解得：，抛物线解析式为，抛物线的对称轴为；（2）由题意得：抛物线始终过定点，则由
2、可得：当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾；当时，抛物线始终过定点，此时抛物线的对称轴的范围为，点在该抛物线上，它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为，开口向上，由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键2（2021江苏南京市中考真题）已知二次函数的图像经过两点（1）求b的值（2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是_（3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围【答案】（1）；（2）1；（3）或【分析】（1）将点代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵
3、坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；（3）分和两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得【详解】解：（1）将点代入得：，两式相减得：，解得；（2）由题意得：，由（1）得：，则此函数的顶点的纵坐标为，将点代入得：，解得，则，下面证明对于任意的两个正数，都有，（当且仅当时，等号成立），当时，则（当且仅当，即时，等号成立），即，故当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由得：，则二次函数的解析式为，由题意，分以下两种情况：如图，当时，则当时，；当时，即，解得；如图，当时，当时，当时，解得，综上，的取值范围为或【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识
4、点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键3（2021安徽中考真题）已知抛物线的对称轴为直线（1）求a的值；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）设直线与抛物线交于点A、B，与抛物线交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比【答案】（1）；（2），见解析；（3）【分析】（1）根据对称轴，代值计算即可（2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出，再表示出，=，即可得出结论【详解】解：（1）由题意得：（2）抛物线对称轴为直线，且当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大当时，y1随x1的增大
5、而减小，时，时，同理：时，y2随x2的增大而增大时， 时， （3）令 令 AB与CD的比值为【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点4（2021浙江绍兴市中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径，且点A，B关于y轴对称，杯脚高，杯高，杯底MN在x轴上（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯
6、脚高CO不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长【答案】（1）；（2）【分析】（1）确定B点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）利用杯深 CD 与杯高 OD 之比为0.6，求出OD ，接着利用抛物线解析式求出B或A横坐标即可完成求解【详解】解：（1）设，杯口直径 AB=4 ，杯高 DO=8 ，将，代入，得，（2），当时，或，即杯口直径的长为【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等5（2021湖北恩施土家族苗族自治州中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛
7、物线经过点，两点，且与直线交于另一点（1）求抛物线的解析式；（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，为顶点的四边形是以为边的菱形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，探究是否存在最小值若存在，请求出这个最小值及点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在以点，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）存在最小值，最小值为，此时点M的坐标为【分析】（1）由题意易得，进而可得，则有，然后把点B、D代入求解即可；（2）设点，当以点，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分
8、当时，当时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM、DM，由题意易得DM=EM，四边形BOMP是平行四边形，进而可得OM=BP，则有，若使的值为最小，即为最小，则有当点D、M、O三点共线时，的值为最小，然后问题可求解【详解】解：（1）四边形为正方形，OB=1，把点B、D坐标代入得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）由（1）可得，抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线，点D与点E关于抛物线的对称轴对称，由两点距离公式可得，设点，当以点，为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：当时，如图所示：由两点距离公式可得，即，解得：，点F的坐标为或；
9、当时，如图所示：由两点距离公式可得，即，解得：，点F的坐标为或；综上所述：当以点，为顶点的四边形是以为边的菱形，点的坐标为或或或；（3）由题意可得如图所示：连接OM、DM，由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，DM=EM，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，四边形BOMP是平行四边形，OM=BP，若使的值为最小，即为最小，当点D、M、O三点共线时，的值为最小，此时OD与抛物线对称轴的交点为M，如图所示：，的最小值为，即的最小值为，设线段OD的解析式为，代入点D的坐标得：，线段OD的解析式为，【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及
10、轴对称的性质是解题的关键6（2021四川南充市中考真题）如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）四边形OCPQ是平行四边形，理由见详解；（3）（0，）或（0，1）或（0，-1）【分析】（1）设抛物线
11、，根据待定系数法，即可求解；（2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0x4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论；（3）过点Q作QMy轴，过点Q作QNy轴，过点E作ENx轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解【详解】解：（1）抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线，B（4，0），C（0，4），设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1，抛物线的解析式为：；（2）B（4，0），C（0，4），直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则
12、Q（x，），（0x4），PQ=-x+4-()=，当x=2时，线段PQ长度最大=4，此时，PQ=CO，又PQCO，四边形OCPQ是平行四边形；（3）过点Q作QMy轴，过点Q作QNy轴，过点E作ENx轴，交于点N，由（2）得：Q（2，-2），D是OC的中点，D（0，2），QNy轴，又，即：，设E（x，），则，解得：，（舍去），E（5，4），设F（0，y），则，当BF=EF时，解得：，当BF=BE时，解得：或，当EF=BE时，无解，综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1） 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三
13、角形，是解题的关键7（2021四川广元市中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点的坐标值：x0123y03430（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作轴，垂足为F，的外接圆与相交于点E试问：线段的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由【答案】（1）；（2）；（3）是，1【分析】（1）依据表格数据，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求解即可；（2）利用平移和找对称点的方式，将的长转化为，再利用两点之间线段最短确定的最小值等于CE的长，加1后即能确定的最小值；（3）设出圆心和D点的坐标，接着表示出E点的坐标，利用圆心到B点的距离等于圆心到D点的距离，求出q和e的关系，得到E点的纵坐标，进而确定EF的长为定值【详解】解：（1）由表格数据可知，顶点坐标为（1,4）设抛物线解析式为：，将点（0,3）代入解析式得：3=a+4，抛物线解析式为：，顶点坐标（2）由表格可知，抛物线经过点A（-1,0），C（0,3），如图3，将A点向上平移一个单位，得到，则四边形是平行四边形，作关于MQ的对称点E，则，
