2019 考研数学之微分方程测试题及答案（2019-6） 1.设)(xf为一连续函数，它由方程 )()( 2 0 xfxdtttf x 确定，求 函数)(xf 2.解方程 x y xy x y xy d d d d 22 3.设函数)(xy具有二阶导数，且曲线l：)(xyy与直线xy相切于 原点，为曲线 l 在点),(yx处切线的倾斜角， 若 dx dy dx d ，求函数的)(xy表 达式 4.设)(xyy是),(内过点 ) 2 , 2 ( 的光滑曲线 . 当0 x时， 曲 线 上 任 一 点 处 的 法 线 都 过 原 点 ； 当x0时 ， 函 数)(xy满 足 0 xyy，求求函数的)(xy表达式 5.求微分方程 x xeyyy 2 65的通解 6.设 函 数)(xyy在),(内具 有二 阶导 数， 且0y，)(yxx是 )(xyy的反函数 (1) 试 将)(yxx所满 足的 微分 方 程 0)(sin( 3 2 2 dy dx xy dy xd 变 换为 )(xyy 满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初值条件 2 3 )0(,0)0(yy的特解 ： 7.求微分方程0)cos()2(sindyxeyxdxxyey xyxy . 8.已知 xxxxxxx eexeyexeyexey 2 32 2 1 ,是某二阶常系数非 齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程。
9求微分方程 x e yyy 1 1 23 的通解 10.解方程 0)21()12( 33 dyyxxyxdxxyy 11.求微分方程 22 )(yxyyyx 的通解 测试题答案 2.解方程 x y xy x y xy d d d d 22 备注：作变换 u x y ，原方程可化为 1d d u u x u x 3.设函数)(xy具有二阶导数，且曲线l：)(xyy与直线xy相切于 原点，为曲线 l 在点),(yx处切线的倾斜角， 若 dx dy dx d ，求函数的)(xy表 达式 解：由于tany，则 )1( 2 yyy，令py，得)1( 2 pp dx dp ， 从而Cx p p 2 1 ln 2 2 x eC p p2 1 2 2 1 . 由于1)0(y， 2 1 1 C ，即 x x e e y 2 2 1 1 2 ，则 2 22 arcsin 2 1 1 2 C e dx e e y x x x ，由0)0(y，得 4 2 C . 因此 4 2 ar c s i n x e y 4.设)(xyy是),(内过点 ) 2 , 2 ( 的光滑曲线 . 当0 x时， 曲 线 上 任 一 点 处 的 法 线 都 过 原 点 ； 当x0时 ， 函 数)(xy满 足 0 xyy，求求函数的)(xy表达式。
解：当0 x时，设),(yx为曲线上的任一点，则过该点法线斜率 dx dy k 1 . 由已知条件可知，法线的斜又可率表示为 x y k，所以 y x dx dy Cyx 22 由初始条件 2 ) 2 (y，得 2 C，即 22 xy 当x0时，方程0 xyy的通解为 xxCxCys i nc o s 21 1c o ss i n 21 xCxCy 显然， 1 22 00 ,lim)(lim)0(Cxxyy xx ； 1,0lim)(lim)0()0( 2 22 00 C x x xyyy xx ， 因此 xxxx xx xy 0,s i nc o s 0, )( 22 5.求微分方程 x xeyyy 2 65 的通解 解：方程所对应的齐次方程的特征方程为 065 2 rr 3, 2 21 rr 于是，齐次方程的通解为 xx eCeCy 3 2 2 1 由于 1 2r，则原方程的一个特解可设为 x ebaxxy 2 )(* 将其代入所给方程，得 xbaax)2(2 即 02 12 ba a 解得 1, 2 1 ba . 从而 x exxy 22 )2( 2 1 * 因此，原方程的通解为 xx eCeCy 3 2 2 1 x exx 22 )2( 2 1 。
6.设 函 数)(xyy在),(内具 有二 阶导 数， 且0y，)(yxx是 )(xyy的反函数 (1) 试 将)(yxx所满 足的 微分 方 程 0)(sin( 3 2 2 dy dx xy dy xd 变 换为 )(xyy满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初值条件 2 3 )0(,0)0(yy的特解 ： 解： (1) 由反函数的求导法则可知 1 )( 1 dx dy dx dy dy dx ， 则 dy dx dy dx dx d dy dx dy d dy xd )()( 2 2 11 )()( dx dy dx dy dx d 2 2 3 )( dx yd dx dy 于是，原方程可化为xyys i n (2) 显然，齐次方程0yy的通解为 xx eCeCy 21 . 由于i不是特征根，故xyysin的特解可设为 xBxAysincos * ， 将其代入非齐次方程，得 2 1 , 0BA . 因此变换后的微分方程的通解为 xeCeCy xx s i n 2 1 21 将初值条件 2 3 )0(,0)0(yy代入通解中，得到其特解为 xeey xx s i n 2 1 。
7.求微分方程0)cos()2(sindyxeyxdxxyey xyxy . 解：原方程可化为 02)()cos(sinxdxxdyydxeydyxydx xy 0)()s i n( 2 dxxydeyxd xy 0)()sin( 2 dxedyxd xy 0)sin( 2 xeyxd xy 所以 Cxeyx xy2 sin 8.已知 xxxxxxx eexeyexeyexey 2 32 2 1 ,是某二阶常系数非 齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程 解：由于 xx eeyy 2 21 ； xx eeyy2 2 32，则所求方程的特 征方程为 02) 1)(2( 2 rrrr 所求方程对应的齐次方程为02yyy 设所求方程为)(2xfyyy 将上述三个解中的一个代入上式，即可得到)(xf. 不妨将 xx exey 2 1 代入， 得)(2)()()( 222xxxxxx exeexeexexf x ex)21( 因此，所求方程为 x exyyy)21(2 9.求微分方程 x e yyy 1 1 23 的通解 解：显然，此方程为二阶常系数线性微分方程，但自由项 )(xf 既不是 )(xPe m x 型，也不是cos)(cos)(xxpxxpe lm x 型，所以不能用常规 方法求解。
但是，我们可以采用变量变换及降阶的办法由于 原方程可化为 x e yyyy 1 1 )2()2( 令 yyu2 ，得 x e uu 1 1 于是 1 1 1 dxe e ceu dx x dx ) 1 ( 1 dx e e ce x x x )1l n ( 1 xxx eeec 从而yy2)1l n ( 1 xxx eeec 则 )1l n ( 2 12 2 dxeeeeccey dx xxx dx )1l n ( 2 12 2 dxeeeecce xxxxx 而dxeeeec xxxx2 1 )1ln( dxeeec xxx )1ln( 1 xxx deeec)1ln( 1 )1ln()1ln( 1 )1ln( 1 2 1 xxxxx x x xxx eeeeec dx e e eeec 因此，原方程的通解为 xxxxxx eeeeececy)1l n ()( 22 21 10.解方程0)21()12( 33 dyyxxyxdxxyy 解：原方程可化为0)()22( 3422 dyyxxdyydxdyxdxxy 即0)()( 3422 dyyxxydyxd 等式两边同除以 44 yx，得 0 )()( 4444 22 y dy yx xyd yx yxd 由此可得 0|)|ln 3 11 ( 3322 y yxyx d 因此，方程的通解为 C|ln 3 11 3322 y yxyx 。
11.求微分方程 22 )(yxyyyx 的通解 解：原方程可化为 2222 )(2yxyxyyyyx 即yxyyyyyx2)( 222 等式两边同除以 22 yx 得 y y xxy yyy21)( 22 2 即 2 12 xy y xy y 则 xx C dxe x Ce y y dx x dx x 11 2 1 2 2 1 2 ， 从而 xx C y 1 ln 2 1 ，即 Cx x C y|lnln 1 则原方程的通解为 x C xeCy 1 2 。