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1、3.6解三角形一、填空题(本大题共9小题,每小题6分,共54分)1(2010江苏靖江调研)在ABC中,若(abc)(bca)3bc,则A_.解析(abc)(bca)(bc)2a2b2c22bca23bc,b2c2a2bc,cos A,A.答案2(2010宿迁模拟)在ABC中,已知acos Abcos B,则ABC的形状为_解析由已知acos Abcos B得,又由正弦定理,得,所以,整理得sin Acos Asin Bcos B,即sin 2Asin 2B.因为A、B为三角形内角,所以2A2B或2A2B,所以AB或AB,即ABC为等腰三角形或直角三角形答案等腰三角形或直角三角形3(2010江苏
2、淮阴模拟)如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为_解析设增加同样的长度为x,原三边长为a、b、c,且c2a2b2,abc.新的三角形的三边长为ax、bx、cx,知cx为最大边,其对应角最大而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,则为锐角,那么它为锐角三角形答案锐角三角形4(2010浙江绍兴模拟)ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,如果a,b,c成等差数列,B30,ABC的面积为,那么b_.解析a,b,c成等差数列,2bac.平方得a2c24b22ac.又ABC的面积为,且B30,故由Sacsin Bacs
3、in 30ac,得ac6,a2c24b212.由余弦定理cos B.解得b242.又b为边长,b1.答案15(2008四川,7)ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若ab,A2B,则cos B_.解析由正弦定理得,ab可化为.又A2B,cos B.答案6(2010南通模拟)一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向,行驶4 h后,船到达B处,看到这个灯塔在北偏东15方向,这时船与灯塔的距离为_km.解析如图,由已知AB=60 kmMAB=30,AMB=45,在AMB中,由正弦定理得答案7(2009福建泉州二模)如图所示,我炮兵阵地位于地面A处,
4、两观察所分别位于地面C处和D处,已知CD6 000 m,ACD45,ADC75,目标出现于地面B处时测得BCD30,BDC15,则炮兵阵地到目标的距离是_(结果保留根号)解析ACD45,ADC75,CAD60.在ACD中,由正弦定理可得,AD6 0002 000.在BCD中,由正弦定理得,BD3 000在RtABD中,由勾股定可得AB2BD2AD2,|AB|1 000(m)答案1 000 m8(2009江西宜泰模拟)线段AB外有一点C,ABC60,AB200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶,则运动开始_ h后,两车的距离最小解析如图所
5、示,设t h后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则AD=80t,BE=50t.因为AB=200,所以BD=200-80t,问题就是求DE最小时t的值由余弦定理:DE2=BD2+BE2-2BDBEcos 60=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)50t=12 900t2-42 000t+40 000.当时,DE最小答案9(2009广东改编)已知ABC中,A、B、C的对边分别是a、b、c,若ac,且A75,则b_.解析sin Asin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos 30.由ac可知,C75,所以B30,sin B.由正弦定理得bsin B2.答案2二、解答题(本大题共3小题,共46分)10(14分)(2009安徽)在ABC中,CA,sin B.(1)求sin A的值;(2)设AC,求ABC的面积解(1)由CA和ABC,得2AB,0A8-41.741,即sin OAB1,这样的OAB不存在,因此游击手不能接着球4用心 爱心 专心