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1、同角三角函数的基本关系与诱导公式考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2 cos2 1，tan .2.能利用单位圆中的三角函数线推导出，的正弦、余弦、正切的诱导公式1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21；(2)商数关系：tan .提醒：平方关系对任意角都成立，而商数关系中k，kZ.2诱导公式组序一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin sin sin cos cos_余弦cos cos cos cos_sin sin 正切tan tan tan tan_口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin21cos2
2、(1cos )(1cos )；cos21sin2(1sin )(1sin )(2)(sin cos )212sin cos .(3)sin tan cos .一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若，为锐角，则sin2cos21.()(2)若R，则tan 恒成立()(3)sin()sin 成立的条件是为锐角()(4)若sin(k)(kZ)，则sin .()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1化简sin 690的值是()AB CDBsin 690sin(72030)sin 30.选B.2若sin ，则tan _.，cos ，tan .3已知tan 2，则的值为_3原式3.
3、4化简sin()cos(2)的结果为_sin2原式(sin )cos sin2. 考点一同角三角函数基本关系式的应用 “知一求二”问题对sin ，cos ，tan 的知一求二问题(1)利用sin2cos21可实现的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论1若，sin()，则tan ()AB CDC因为，sin ，所以cos ，所以tan ，故选C.2已知tan 2，则sin cos ()AB CDA由t
4、an 2，得sin 2cos .代入sin2cos21得cos2.又，cos ，sin tan cos ，sin cos ，故选A.3(多选)已知，且sin cos a，其中a(0,1)，则关于tan 的值，下列选项中，可能正确的是()AB CD2AC因为sin cos a，a(0,1)，两边平方得12sin cos a2，解得sin cos 0.所以0，且cos sin .借助于三角函数线可知，0，1tan 0，所以tan 的值可能是，故选AC.已知tan 求sin ，cos 齐次式的值若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一
5、个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，对于分母为1的二次式，可用sin2cos2做分母求解典例11(1)已知5，则cos2sin 2的值是()AB C3D3(2)已知，sin cos ，则tan ()AB或CD或(1)A(2)A(1)由5得5，可得tan 2，则cos2sin 2cos2sin cos .故选A.(2)由sin cos ，得12sin cos ，即2sin cos .又2sin cos ，12tan225tan 120，解得tan 或tan .又，tan (1,1)，tan ，故选A.点评：解题中要注意sin2cos21的应用sin cos 与sin cos 关系
6、的应用对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，知一可求二，若令sin cos t(t，)，则sin cos ，sin cos (注意根据的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用典例12已知x(，0)，sin xcos x.(1)求sin xcos x的值；(2)求的值解(1)由sin xcos x，平方得sin2x2sin xcos xcos2x，整理得2sin xcos x.(sin xcos x)212sin xcos x.由x(，0)，知sin x0，又sin xcos x0，cos x0，则sin xcos x0，故sin xcos x.(2).点评：利用
7、sin cos 0(sin cos 0)可知sin ，cos 同号还是异号，再结合角的范围或sin cos 的正负，可进一步确定sin ，cos 的正负1若|sin |cos |，则sin4cos4()AB CDB因为|sin |cos |，两边平方，得1|sin 2|，所以|sin 2|，所以sin4cos412sin2cos21sin22.故选B.2已知1，则(1)_；(2)sin2sin cos 2_.(1)(2)由1得tan .(1).(2)sin2sin cos 2.3已知为第二象限角，sin ，cos 是关于x的方程2x2(1)xm0(mR)的两根，则m_，sin cos _.因为
8、sin ，cos 是方程2x2(1)xm0(mR)的两根，所以sin cos ，sin cos ，可得(sin cos )212sin cos 1m，解得m.因为为第二象限角，所以sin 0，cos 0，即sin cos 0，因为(sin cos )212sin cos 1m1，所以sin cos . 考点二诱导公式的应用 1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”2明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名(2)用诱导公式，统一角(3)用因式分解将式子变形，化为最简也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”典例 2(1)设f(
9、)(12sin 0)，则f _.(2)已知cosa，则cossin的值是_(1)(2)0(1)因为f()，所以f .(2)因为coscoscosa，sinsincosa，所以cossin0.点评：在使用诱导公式时，若不是诱导公式的标准形式，如：sin，cos()等，先化为标准形式，再用诱导公式化简1若sin 是方程5x27x60的根，则()AB CDB方程5x27x60的两根分别为x12和x2，sin .则，故选B.2计算：sin(1 200)cos 1 290cos(1 020)sin(1 050)tan 945_.2原式sin 120cos 210cos 60sin 30tan 225si
10、n 120cos 30cos 60sin 30tan 4512.3已知sin，则cos_.由题意知，coscossin. 考点三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求基本思路分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式化简要求化简过程是恒等变换；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值典例3已知f(x)(nZ)(1)化简f(x)的表达式；(2)求f f 的值解(1)当n为偶数，即n2k(kZ)时，f(x)sin2x；当n为奇数，即n2k1(kZ)时，f(x)sin2x，综上得f(x)sin2x.(2)由(1)得f f sin2sin2sin2sin2sin2cos21.1已知为锐角，且2tan()3cos50，tan()6sin()10，则sin 的值是()AB CDC由已知可得2tan 3sin 50.tan 6sin 10，解得tan 3，又为锐角，故sin .2已知sin cos ，且，则的值为_由sin cos ，两边平方得sin cos ，sin cos ，.12
