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1、等比数列及其前n项和考试要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的数学表达式为q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1a
2、mqnm.(2)前n项和公式：Sn等比数列的常用性质(1)在等比数列an中，若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则amanapaqa.(2)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍然是等比数列(3)等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn，q1且n为偶数时除外一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)若an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)数列an的通项公式是anan
3、，则其前n项和为Sn.()(5)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S8成等比数列()答案(1)(2)(3)(4)(5)二、教材习题衍生1在等比数列an中，a32，a78，则a5等于()A5 B5 C4D4Caa3a72816，a54.又a5a3q20，a54.2在等比数列an中，a3，S3，则a2的值为()AB3 CD3或D由S3a1a2a3a3(q2q11)，得q2q113，即2q2q10，解得q1或q.a2或3.故选D.3在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_.6a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列又Sn126，126
4、，解得n6.4一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机_秒，该病毒占据内存8 GB(1 GB210 MB)39由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n，则2n8210213，n13.即病毒共复制了13次所需时间为13339(秒) 考点一等比数列基本量的运算 等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)(2)运用等比数列的前n项和公式时，注意分q1和q1两类分别讨论1(2020
5、成都模拟)设正项等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则公比q等于()A2B3 C4D5AS23，S415，q1，由得q24，又q0，q2.故选A.2(2020全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和，若a5a312，a6a424，则()A2n1B221n C22n1D21n1B法一：设等比数列an的公比为q，则由解得所以Sn2n1，ana1qn12n1，所以221n，故选B.法二：设等比数列an的公比为q，因为2，所以q2，所以221n，故选B.3(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和，若Sm63，求m.解(1)设
6、an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nN*)(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.点评：抓住基本量a1，q，借用方程思想求解是解答此类问题的关键，在套用等比数列求和公式解题时，务必注意讨论公比q是否为1. 考点二等比数列的判定与证明 判定一个数列为等比数列的常见方法典例1(2020南昌模拟)已知数列an，bn满足a11，b1，2an1anbn,2bn1anbn.(1)证明：数列anb n，anbn为等比数
7、列；(2)记Sn为数列an的前n项和，证明：Sn.证明(1)依题意，有两式相加，得an1bn1(anbn)又a1b10，anbn是首项为，公比为的等比数列，两式相减，得an1bn1(anbn)又a1b10，anbn是首项为，公比为的等比数列(2)由(1)得，anbnn1，anbnn1，得，annn，故Sn.点评：本例以数列的递推关系为载体，在考查等比数列判定方式的同时考查方程思想，学会从结论入手寻找解题思路是该问题的一个思维亮点1(2020河北唐山一中模拟)记Sn为数列an的前n项和，Sn1an，记Tna1a3a3a5a2n1a2n1，则an_，Tn_.由题意得a11a1，故a1.当n2时，由
8、得ananan1，则，故数列an是以为首项，为公比的等比数列，故数列an的通项公式为an.由等比数列的性质可得a1a3a，a3a5a，a2n1a2n1a，所以数列a2n1a2n1是以a为首项，为公比的等比数列，则Tnaaa.2(2021全国统一考试模拟演练)已知各项都为正数的数列an满足an22an13an.(1)证明：数列anan1为等比数列；(2)若a1，a2，求an的通项公式解(1)证明：因为an22an13an，所以an2an13(an1an)，因为an中各项均为正数，所以an1an0，所以3，所以数列anan1是公比为3的等比数列(2)由题意及(1)知，anan1(a1a2)3n12
9、3n1，因为an22an13an，所以an23an1(an13an)，a23a1，所以a23a10，所以an13an0，故an13an，所以4an23n1，即an3n1. 考点三等比数列性质的应用 应用等比数列性质的两个关注点(1)转化意识：在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方，这是最常用的性质(2)化归意识：把非等比数列问题转化为等比数列问题解决，例如有关Sm，S2m，S3m的问题可利用Sm，S2mSm，S3mS2m(Sn0)成等比数列求解典例2(1)已知数列an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于()A7B5 C5D7(2)设Sn是等比数列an的前n项和，
10、若3，则()A2B CD1或2(3)已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.(1)D(2)B(3)2(1)法一：(基本量法)设数列an的公比为q，则由题意得所以或所以a1a10a1(1q9)7.法二：(性质法)由解得或所以或所以a1a10a1(1q9)7.(2)设S2k，S43k，数列an为等比数列，S2，S4S2，S6S4也为等比数列，又S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，故选B.(3)由题意，得解得所以q2.点评：在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，特别关注项an或和Sn的下角标数字间的内在关系，活用性质，减少运算量，提高
11、解题速度1已知数列an是等比数列，若a21，a5，则a1a2a2a3anan1(nN*)的最小值为()AB1 C2D3C由已知得数列an的公比满足q3，解得q，a12，a3，故数列anan1是以2为首项，公比为的等比数列，a1a2a2a3anan1，故选C.2等比数列an满足an0，且a2a84，则log2a1log2a2log2a3log2a9_.9由题意可得a2a8a4，a50，所以a52，则原式log2(a1a2a9)9log2a59.数学文化1数列与数学文化纵观近几年高考，以数学文化为背景的数列问题，层出不穷，让人耳目一新，同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，本专题通过对典型考题
12、的分析，让考生提高审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文化的理解，提升数学核心素养.等差数列中的数学文化(2020葫芦岛一模)我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤”意思是：“现有一根金锤，长度为5尺，头部的1尺，重4斤；尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列”则下列说法正确的是()A该金锤中间一尺重3.5斤B中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍C该金锤的重量为15斤D该金锤相邻两尺的重量之差的为1.5斤C设该等差数列为an，公差为d，a52，a14，则44d2，解得d.an4(n1).a33，S515，a2a3a439，a5a16，故选C.评析以数学文化为背景的等差数列模型题的求解关键：一是会脱去数学文化的背景，读懂题意；二是构建模型，即由题意构建等差数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等差数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等(2020湖南六校联考)“珠算之父”程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著算法统宗中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四
