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1、函数的奇偶性教学设计 教学目标1能抽象出函数奇偶性的定义，提升学生的直观想象素养和数学抽象素养；了解奇函数与偶函数的定义和图象特征，能从函数图象直观判断函数是否具有奇偶性2能根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；能利用函数的奇偶性帮助画函数图象和计算函数值，提升学生的逻辑推理和数学运算素养 教学重难点教学重点：了解奇函数与偶函数的定义和图象特征，根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性教学难点：“图象关于y轴（原点）对称”转化为定量的符号语言 课前准备用软件制作动画；PPT课件 教学过程一、问题导入问题1：观察图1中的两个函数图象，你能发现它们的共同特征吗？图1师生活动：学生观察容易发现这两个图象
2、都有对称性，老师顺势引出课题预设的答案：图象的共同特征是它们都有对称性设计意图：直接引出课题，形成对函数奇偶性的直观感受引语：奇偶性是刻画函数对称性的一个性质本节课我们一起来学习函数的奇偶性（板书：奇偶性）二、新知探究1确定研究思路问题2：你能说说如何研究奇偶性吗？师生活动：学生思考，老师在学生回答的基础上进行补充预设的答案：先分析具体函数的图象特征（对称性），获得函数奇偶性的直观定性认识，然后利用动图或表格研究发现数量变化特征，再用符号语言定量刻画，抽象出奇偶性的定义，设计意图：引导学生回顾已有经验，给出研究函数性质的一般方法2定性刻画偶函数问题3：观察函数f(x)x2和g(x)2|x|的图
3、象（图2），思考以下问题：图2（1）你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）你能用符号语言描述该特征吗？师生活动：问题（1）学生容易回答，但是观察流于表面，并不能进行深入的分析，所以直接回答问题（2）对学生来说难度较大，老师进行追问（追问1、追问2和追问3），启发学生深入思考，直至完成问题（2）追问1：宏观上看，这两个图象关于y轴对称；微观上看，除了y轴上的点，其余的点都是成对出现任取函数f(x)x2的图象上一点A，你能在图象上作出该点关于y轴的对称点吗？（若点A在y轴上，则对称点就是它本身；若点A不在y轴上，过A作y轴的垂线与函数图象交于另一点A，此时点A与点A就是一组对称点）追问2：
4、你能说说这组对称点的坐标之间的关系吗？（横坐标相反，纵坐标相同（如图3）借助动态作图软件，老师在函数f(x)x2的图象上任意改变点A的位置，学生们随时观察点A与点A的坐标，可以很清楚地找到规律）追问3：你能用函数语言描述该特征吗？（当函数的自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等）预设的答案：（1）这两个的图象都关于y轴对称（2）xR，f(x)(x)2x2f(x)教师点拨：xR，f(x)f(x)，这时称函数f(x)x2为偶函数图3 图4追问4：你能仿照上述过程，说明函数g(x)2|x|也是偶函数吗？（首先，图象关于y轴对称，任取图象上的一组关于y轴对称的点，它们的横坐标相反，纵坐标相同（如图
5、4）；其次，从函数符号的角度，当函数的自变量取一对相反数时，相应的函数值相等，即：xR，g(x)2|x|2|x|g(x)，g(x)2|x|是偶函数）教师点拨：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数就叫做偶函数追问5：“xI，都有xI”说明定义域I具有什么性质？（定义域关于原点对称）设计意图：以具体的函数为例，先借助图象直观感受偶函数的特征，定性刻画偶函数；再将图形语言转化为符号语言，实现定量偶函数的目标，提升学生的直观想象素养和数学抽象素养3定量刻画奇函数问题4：观察函数f(x)x和g(x)的图象（图5），思考以下问题：（1）你能发现这两个函数图象
6、有什么共同特征吗？（2）你能用符号语言描述该特征吗？图5师生活动：此处的活动与问题3的大致相同，学生类比完成图6追问1：宏观上看，这两个图象关于原点中心对称；微观上看，除了原点（如果原点在图象上），其余的点都是成对出现任取函数f(x)x的图象上一点A，你能在图象上作出该点关于原点的对称点吗？（若点A是原点O，则对称点就是它本身；若点A不是原点，将A绕原点O旋转180得到A，此时点A与点A就是一组对称点）追问2：你能说说这组对称点的坐标之间的关系吗？（横坐标相反，纵坐标相反（图6）借助动态作图软件，老师在函数f(x)x的图象上任意改变点A的位置，学生们随时观察点A与点A的坐标，可以很清楚地找到规
7、律）追问3：你能用函数语言描述该特征吗？（当函数的自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相反）预设的答案：（1）两个的图象都关于原点成中心对称图形（2）xR，f(x)xf(x)教师点拨：xR，f(x)f(x)，这时称函数f(x)x为奇函数追问4：你能仿照上述过程，说明函数g(x)也是奇函数吗？（首先，图象关于原点中心对称，任取图象上的一组关于原点轴对称的点，它们的横坐标相反，纵坐标也相反（图图77）；其次，从函数符号的角度，当函数的自变量取一对相反数时，相应的函数值相反，即：x(，0)(0，)，g(x)g(x)，函数g(x)是奇函数）教师点拨：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有
8、xI，且f(x)f(x)，那么函数就叫做奇函数设计意图：类比定量刻画偶函数的过程，不仅得到奇函数的定量刻画，而且能熟悉研究函数性质的路径与方法4奇偶性的判定例1 判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)x4； （2）f(x)x5；（3）f(x)x； （4）f(x)师生活动：老师引导学生寻找判定的依据定义，根据定义，求出函数的定义域I后，需要判断两个条件：（1）xI，x是否属于I；（2）f(x)f(x)或f(x)f(x)是否成立，只有（1）、（2）同时成立，才能判断函数的奇偶性预设的答案：解：（1）函数f(x)x4的定义域为RxR，都有xR，且f(x)(x)4x4f(x) ，函数f(x)x4为偶函数
9、（2）函数f(x)x5定义域为RxR，都有xR，且f(x)(x)5x5f(x) ，函数f(x)x5为奇函数（3）函数f(x)x的定义域为(，0)(0，)x(，0)(0，)，都有x(，0)(0，)，且f(x)x（x）f(x) ，函数f(x)x为奇函数（4）函数f(x)的定义域为(，0)(0，)x(，0)(0，)，都有x(，0)(0，)，且f(x)f(x) ，函数f(x)为偶函数追问1：你能总结用定义法判断奇偶性的步骤吗？（第一步，求函数的定义域I第二步，判断定义域是否关于原点对称若否，则函数不具有奇偶性，结束判断；若是，则进行第三步第三步，xI，计算f(x)若f(x)f(x)，则为偶函数；若f(
10、x)f(x)，则为奇函数；若f(x)与f(x)既不相等也不相反，则既不是奇函数也不是偶函数）追问2：思考图8 图9（1）判断函数f(x)x3x的奇偶性（2）图8是函数f(x)x3x图象的一部分，你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗？（3）一般地，如果知道yf(x)为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？（1）xR，都有xR，且f(x)(x)3(x)（x3x）f(x) ，函数f(x)x3x为奇函数（2）因为是奇函数，所以图象关于原点中心对称，我们可以先将图象沿着y轴翻折，再沿着x轴翻折就可以得到y轴左边的图象（图9）（3）一般我们只需要研究y轴一侧的性质，然后根据对称性推断得
11、到它在整个定义域内的性质）设计意图：例1和追问1帮助学生掌握应用定义判定奇偶性的程序，进一步加深对概念的认识，在证明过程中提升学生的逻辑推理素养和数学运算素养追问2让学生利用函数的奇偶性画函数的图象，体会奇偶性对于研究函数性质时的简化作用，提升学生的直观想象素养三、归纳小结，布置作业问题5：回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：（1）什么是奇（偶）函数？用定义判定奇偶性的步骤是怎样的？（2）请你比较奇函数的定义与偶函数的定义，说说这两者的异同师生活动：师生一起总结预设的答案：（1）概念和步骤略；（2）相同点：定义域关于原点对称；都是函数的整体性质不同点：偶函数的图象关于y轴对称，而奇函数的图
12、象关于原点对称；当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相同，而奇函数的函数值相反设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生更加明确函数奇偶性的内涵和判定四、目标检测设计1已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整设计意图：训练学生根据奇偶性补全函数图象的能力，考查奇偶性的定义2判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)2x43x2； （2）f(x)x32x 设计意图：考查奇偶性的定义3（1）从偶函数的定义出发，证明函数yf(x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；（2）从奇函数的定义出发，证明函数yf(x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称 设计意图：通过证明符号语言与图象语言的等价性，深化理解奇偶性的定义参考答案：1略2（1）偶函数（2）奇函数3（1）充分性：设P(x，y)是函数f(x)图象上任意一点，则yf(x)因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以点P关于y轴的对称点Q(x，y)也在函数f(x)图象上，即yf(x)，所以对任意的x，都有f(x)f(x)，所以函数是偶函数必要性：设P(x，y)是函数f(x)图象上任意一点，则yf(x)记点P关于y轴对称点为Q，则Q(x，y)因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，即yf(x)，所以点Q在函数图象上，所以函数f(x)的图象关于y轴对称（2）类比（1）中的证明过程可证
