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1、专题二:数列的题型与方法一、 考点回顾1数列的概念,数列的通项公式与递推关系式差数列和等比数列的概念、有关公式和性质.2判断和证明数列是等差（等比）数列常用三种方法:(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证为同一常数。（)通项公式法:若，则为等差数列;若,则为等比数列。中项公式法:验证都成立。3.在等差数列中,有关Sn的最值问题常用邻项变号法求解:(1）当,d0时,求数列的最小项。分析:第（1)问用定义证明，进一步第（2)问也可以求出,第（3)问由的不同而要分类讨论。解：(1) (n2）由得, ，即从第2项起是以2为公比的等比数列。(2）当n2时,是等比数列, (n)是常数,3a4=,即 。(
2、3）由（1)知当时,所以,所以数列为2a+1,a，a-1,16，3+7,显然最小项是前三项中的一项。当时,最小项为a-1；当时，最小项为4或8a-；当时,最小项为4a；当时，最小项为4a或2a+1；当时,最小项为2a+1。 点评:本题考查了用定义证明等比数列,分类讨论的数学思想,有一定的综合性。考点二：求数列的通项与求和例题3. (07年月湖北省十一校）.已知数列中各项为: 12、112、111222、 (1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. (2）求这个数列前项之和S 分析：先要通过观察,找出所给的一列数的特征,求出数列的通项，进一步再求和。解:（) 个记：A= , 则A=为整数
3、 = (A1) , 得证(2） 点评：本题难点在于求出数列的通项,再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积,解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。例题4 (207年5月深圳市)已知数列满足,（)求数列的通项公式；（)设，求数列的前项和;（）设,数列的前项和为.求证：对任意的,分析:本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。解:（)，又，数列是首项为,公比为的等比数列 ，即. （）. ()，. 当时,则.， 对任意的, 点评:本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项,第三问不等式的证明要用到放缩的办法，这将到下
4、一考点要重点讲到。考点三：数列与不等式的联系例题5.（007年月莆田四中)已知为锐角，且,函数,数列an的首项. 求函数的表达式; 求证：； 求证：分析：本题是借助函数给出递推关系，第()问的不等式利用了函数的性质，第(3)问是转化成可以裂项的形式,这是证明数列中的不等式的另一种出路。解： 又为锐角 都大于 , , 又 点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想,本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。例题6(200年月江苏省淮安市）已知数列满足(）求数列的通项公式;(）若数列满足,证明:是等差数列;（)证明：分析:本例(1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找
5、出连续三项间的关系；第(3)问关键在如何放缩。解：(1),故数列是首项为2，公比为的等比数列。,(),得,即得，即所以数列是等差数列（3)设，则点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了,而且不容易把握，对于这样的题要多探索,多角度的思考问题。例题(2007年月20浙江省五校） 已知函数,数列满足, ；数列满足, 求证:(）(） （)若则当n时,.分析：第(1)问是和自然数有关的命题,可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3)问进行放缩。解：(）先用数学归纳法证明，（)当n=1时,由已知得结论成立；（2)假设当n=时，结论成立，即则当n=k+时，因为x1时,，所以f（x
6、)在（，)上是增函数.又f(x)在上连续,所以（0)（）f()，即0. 故当=+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立又由, 得,从而.综上可知（)构造函数g(x）f()= ,0g(0)=.因为,所以,即0,从而() 因为 ,所以, ， 所以 ， 由()知:, 所以=,因为, ， 所以 = .由 两式可知: . 点评:本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题,属于难题，复习时应引起注意。考点四:数列与函数、向量等的联系例题8.(200年5月徐州市）已知函数()=,设正项数列满足l， （1)写出、的值; ()试比较与的大小,并说明理由；(）设数列满足-，记S=.证明：当n时,Sn（2
7、n).分析:比较大小常用的办法是作差法,而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：（1）,因为所以（）因为所以,因为所以与同号,因为，即（3）当时，所以，所以点评:本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。例题9(207年5月江苏卷）在平面直角坐标系中，已知三个点列,Bn，n,其中 ,满足向量与向量共线，且点（B,n)在方向向量为（1，）的线上 （)试用a与n表示; （2)若a与a两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。分析：第(1）问实际上是求数列的通项；第（）问利用二次函数中求最小值的方式来解决。解：（)又Bn在方向向量为（1，6）的直线上， （2）二次函数是开口向上，对称轴为
8、的抛物线又因为在a与a7两项中至少有一项是数列a的最小项，对称轴点评:本题是向量、二次函数、不等式知识和交汇题,要解决好这类题是要有一定的数学素养的。例题.（007年5月重庆市高三联合诊断）已知，若数列an 成等差数列. (1）求n的通项n; （2）设 若bn的前n项和是n,且分析:观察数列特征，利用等差数列基本条件,得出通项公式，进而求解.解：解:设，f（a1)，(a2)， f(a3）,，f（a),2n4的公差为d，则2n+=2+(n-1)dd=2, (2）， 点评：本题考查等差、等比数列的性质,数列的求和,不等式的放缩，有一定的综合性。例题11.(2007年5月湖南省长沙雅礼中学）数列和数
9、列(）由下列条件确定：(1)，；(2)当时,与满足如下条件:当时，,；当时,，.解答下列问题:(）证明数列是等比数列;(）记数列的前项和为,若已知当时,，求.（）是满足的最大整数时，用,表示满足的条件.分析:利用条件及第(）小题的结论提示，找出的关系，是入手的关键之处解：（)当时，,当时，,所以不论哪种情况，都有,又显然,故数列是等比数列(）由（）知，,故，,所以所以，又当时，,故.()当时，由（2)知不成立，故,从而对于，有,于是，故, 若，则，所以，这与是满足的最大整数矛盾.因此是满足的最小整数.而，因而，是满足的最小整数. 点评:本题难度较大，但试题分为三个小问,降低了坡度，是的入手较为容易，而且步步深入,前一问题的结论
