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1、精品资源第十讲列方程解应用题数学是一门具有广泛应用性的科学，我国著名数学家华罗庚先生曾说过：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”数学应用题的类型很多，比较简单的是方程应用题，又以一元一次方程应用题最为基 础，方程应用题种类繁多，以行程问题最为有趣而又多变.行程问题的三要素是：距离 （s）、速度（v）、时间（t）,行程问题按运动方向可分为相遇问 题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等.熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元、 恰当借助直线图辅助分析是解行程问题的技巧.例题【例1】 某人乘船由A地顺流
2、而下到B地，然后又逆流而上到 C地，共乘船4小时， 已知船在静水中的速度为每小时 7.5千米，水流速度为每小时 2.5千米，若A、C两地的距 离为10千米，则A、B两地的距离为 千米.（重庆市竞赛题）思路点拨 等量关系明显，关键是考虑C地所处的位置.注：列方程的方法为解应用题提供一般的解题步骤和规范的计算方法，使问题“化难 为易”，充分显示了字母代数的优越性，它是算术方法解应用题在字母代数础上的发展.【例2】如图，某人沿着边长为 90米的正方形，按 A - B - C-D-A方向，甲从A以65米/分的速度，乙从 B以72米/分的速度行走，当乙第一次迫上甲时在正方形的 （）.A. AB边上 B.
3、 DA边上C. BC边上 D. CD边上（安徽省竞赛题）思路点拨 本例是一个特殊的环形的追及问题，注意甲实际在乙的前面3X90=270（米）处.甲?【例3】父亲和儿子在100米的跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲能跑 6步，儿子跑？步的距离与父亲跑 4步的距离相等.现在儿子站在100米的中点处，父亲站在100米跑道的起点处同时开始跑.问父亲能否在100米的终点处超过儿子 ？并说明理由.（重庆市竞赛题）思路点拨 把问题转化为追及问题，即比较父亲追上儿子时，儿子跑的路程与50的大小，为了理顺步长、路程的关系，需增设未知数，这是解题的关键.【例4】 钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第
4、一次将分针和时针所夹的 锐角平分？（湖北省数学竞赛选拔赛试题 ）思路点拨 先画钟表示意图，运用秒针分别与时针、分针所成的角相等建立等量关系， 关键是要熟悉与钟表相关的知识.注：明确要求将数学开放性问题作为考试的试题，是近一二年的事情，开放题是相对于常 规的封闭题而言，封闭题往往条件充分，结论确定，而开放题常常是条件不充分或结论不确 定，思维多向.解钟表上的行程问题，常用到以下知识：（1）钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示 1分钟，如与角度联系起来,每一小格对应6;（2）分针走一周，时针走 工周，即分针的速度是时针速度的12倍.12【例5】七年级93个同学在4位老师的带领下准备到离
5、学校32千米处的某地进行社会调查，可是只有一辆能坐25人的汽车.为了让大家尽快地到达目的地，决定采用步行与乘车相结合的办法。如果你是这次行动的总指挥，你将怎样安排他们乘车，才能使全体师 生花最短的时间到达目的地 ？最短的时间是多少？（师生步行的速度是 5千米/时，汽车的速 度是55千米/时，上、下车时间不计.）思路点拨人和车同时出发，由车往返接运，如能做到人车同时到达目的地，则时间最短，而实现同时到达目的地的关键在于平等地享用交通工具，这样，各组乘车的路程一样， 步行的路程也就一样.学力训练1 .甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲的速度为每小时17.5千米，乙的速度为每小
6、时 15千米，则经过 小时，甲、乙两人相距 32.5千米.2 .某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么此人往返一次的平均速度是 千米/小时.3 .汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员揪一声喇叭，4秒后听到回响，已知声音的速度是每秒340米，听到回响时汽车高山谷的距离是 米.（江苏省竞赛题）4 .现在是4点5分，再过 分钟，分针和时针第一次重合.5 .甲、乙两人同时从 A地到B地，如果乙的速度 v保持不变，而甲先用 2v的速度到达中, 1 一点，再用V的速度到达B地，则下列结论中正确的是 （）.2A.甲、乙两人同时到达 B地 B
7、.甲先到B地C.乙先到B地D.无法确定谁先到6 .甲与乙比赛登楼，他俩从36层的长江大厦底层出发，当甲到达 6楼时，乙刚到达5楼，按此速度，当甲到达顶层时，乙可到达 （）.A. 31 层 B. 30 层 C. 29 层 D. 28 层7 .小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况，你能确定小明在 12: 00时看到的里程表上的数吗 ？8 .如图，是某风景区的旅游路线示意图，其中 B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点， 图中数据为两相应点间的距离 （单位：千米）.一学生从A处出发，以2千米/时的速度步行 游览，每个景点的逗留时间均为 0.5小时.（1）当他
8、沿着路线 A一D一C一E-A游览回到A处时，共用了 3小时，求CE的长.（2）若此学生打算从 A处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内 看完三个景点返回到 A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由.（不考虑其他因素）.（江西省中考题）9 .某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到 15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到 15分钟，现在此人打算在火车开车前 10 分钟到达火车站，求此人此时骑摩托车的速度应该是多少？（湖北省孝感市竞赛题）10.甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向行驶在乎行的轨道上，已知甲
9、车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是 秒.（“希望杯”邀请赛试题）11 .甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地， 从甲地开出的为第一辆汽车，每小时行30千米，从乙地开出的汽车为第二辆汽车，每小时行40千米，当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽 车分别行驶了 千米和 千米.（武汉市选拔赛试题）12 .某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙两人都急于上楼办事，因此列车的错 车问题有别于两人之间的相遇或追及问题（为什么？）解题的关键是将原问题转化为直线上的两人相遇或
10、追及问题.在乘扶梯的同时匀速登梯，甲登了55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间内乙登方婺级数是甲的2倍），他登了 60级后到达楼上，那么，由楼下到楼上自动扶梯级数为 .（北京市竞赛题）13 .博文中学学生郊游，沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生 相遇，共经过60秒，如果队伍长500米，那么火车长为（）米.A. 2075 B. 1575 C. 2000 D. 1500（“五羊杯”邀请赛试题）14 .上午九点钟的时候，时针与分针成直角， 那么下一次时针与分针成直角的时间是（）.A.
11、 9时30分 B, 10时5分 C, 10时5a分D. 9时32且分1111（“希望杯”邀请赛试题）15 .铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6千米/小时,骑车人速度为10.8千米/小时，如果有一列火车从他们背后开过来，它通过行人用了22秒,通过骑车人用26秒，问这列火车的车身长为多少米 ？ （河北省竞赛题）16 . 2001年亚洲铁人三项赛在徐州市风光秀丽的云龙湖畔举行.比赛程序是：运动员先同时下水游泳1.5千米到第一换项点，在第一换项点整理服装后，接着骑自行车40千米到第二换项点，再跑步10千米到终点.下表是2001年亚洲铁人三项赛女子组 （19岁以下）三
12、名运 动员在比赛中的成绩（游泳成绩即游泳所用时间，其他类推，表内时间单位为秒）.运动员号码游泳成绩第一换项点所 用时间自行车成绩第二换项点所 用时间长跑成绩1911997754927403220194150311056865736521951354745351443195（1）填空（精确到0.01）第191号运动员骑自行车的平均速度是 米/秒；第194号运动员骑自行车的平均速度是 米/秒；第195号运动员骑自行车的平均速度是 米/秒；（2）如果运动员骑自行车都是匀速的，那么在骑自行车的途中，191号运动员会追上195号或194号吗就口果会，那么追上时离第一换项点有多少米（精确到0. 01）?如
13、果不会，为什么？（3）如果运动员长跑也是匀速的，那么在长跑中途中这三名运动员有可能某人追上摸某人 吗？为什么？17 .某出租汽车停车站已停有 6辆出租汽车.第一辆出租车出发后， 每隔4分钟就有一辆出 租汽车开出，在第一辆汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进站， 以后每隔6分钟就有一辆 出租汽车回站，回站的出租汽车，在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔 4分钟开出一 辆.问：第一辆出租汽车开出后，经过最少多少时间，车站不能正点发车？（重庆市竞赛题）18 .今有12名旅客要赶往40千米远的汉口新火车站去乘火车，离开车时间只有3小时，他们步行的速度为每小时 4千米，靠走路是来不及了，惟一可以利用的交
14、通工具只有一辆小汽 车，但这辆汽车连司机在内最多只能乘5人，汽车的速度为每小时 60千米，若这12名旅客必须要赶上这趟火车，请你设计一种方案，帮助司机把这12名旅客及时地送到汉口火车站（不考虑借助其他交通工具）.欢迎下载参考答案因列方程解应用题一有趣的行程向1例题求解】例】 配衣与 提示可在AB之间或回 之外?5：如第3设儿子每步蹈工米.父亲每步跑y玳.朝位时向内儿子跑口加.父亲跑E览假个单位时向父亲追上儿子，则有5次+ 5。 H&fy把$-7工代入网5r工+5O-6L9工*解用小一髭，则赶上时,儿子跑了 5u-言*5= ；*V5。.故父亲能能在 100案的终点前赶上儿子.例4 黑分提示设经过
15、上分钟科针第一次将分叶和时钟所夹的妮角平分，因为秒计、分针，时针的速廛分别为 1436。度/分4度/分。5度/分.显然工的值大于1小于心所以有6工-360（i-】）=360（工一1）一（1,5#.解禅工、些些,1427要使金悻师生到达目的地花的时间最短，就质让舞一个学生或老师都乘到汽车.并且使他们 乘车的时间屋可髓城忙.97人分成四组.、.实战表示汽车行聊路级.虚战我示步行躇线.设允详每组乘车的最长时间为e小时.图中 AC=55ffCfi = 33-55/.汽车从f到RCE到F4到H也一样）用去的时间为需李=3，口函 汽车到达C处后，三次回头.又三次向Bit开.共用去时间3X-r+3f = y/.33-55 乂春 一二T（小时）.这也是第一纲从C到8步行所用的时间，所以有33-55；=yfX5.解得尸卷小时.所以全体师生
