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1、二次函数知识点梳理及经典练习【知识点梳理】 一、基本概念：1 .二次函数的概念：一般地，形如 y ax2 bx c （ a, b, c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似， 二次项系数a 0,而b,c可以为零.二 次函数的定义域是全体实数.2 .二次函数y ax2 bx c的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数基本形式1.二次函数基本形式：y ax2的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, 0y轴x 0时
2、，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值0.a 0问卜0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值0.2. y ax2 c的性质：（上加下减）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值c .a 0问卜0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值c .y=ax2向上(k0)【或向下(k0)或左(h0)或左(h0)【或下(k0)或左(h0)【或下(k0)】平移四个单位y=
3、a(x-h)2+k23. y a x h的性质：(左加右减)a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, 0X=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值0.a 0问卜h, 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值0.24. y ax h k的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值k .a 0问卜h, kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值k
4、 .三、二次函数图象的平移1 .平移步骤：方法1 :将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2 k ,确定其顶点坐标 h , k ;保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到 h, k处，具体平移方法如下:方法2:y ax2 bx c沿y轴平移：向上(下)平移 m个单位，y ax2 bx c 变成 y ax2 bx c m (或 y ax2 bx cm)y ax2 bx c沿轴平移：向左(右)平移 m个单位，y ax2 bx c 变成 y a(x m)2 b(x m) c(或 y a(x m)2 b(x m) c)2.平移规律：“ h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.即“左加右减，
5、上加下减”四、二次函数 y a x h 2 k与y ax2 bx c的比较从解析式上看，y a x h 2 k与y ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配.22, 2方可以得到前者，即y a x 4ac b，其中h-b-, k 4ac b .2a 4a2a 4a五、二次函数 y ax2 bx c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax2 bx c化为顶点式y a(x h)2 k ,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的 五点为：顶点、与y轴的交点0,c、以及0, c关于对称轴对称的点 2h, c、与x轴的交点 为，0、 x2
6、, 0 (若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的 点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数 y ax2 bx c的性质1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为x ,顶点坐标为2a2b 4ac b2a 4a旨时,2a2时,2a多时,2ay随x的增大而减小;y随x的增大而增大;y有最小值竺2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为bx ,顶点坐标为 2ab 4ac b22a 4a当x .时，y随x的增大而增大;2a当x 旦时，y随x的增大而减小;2a2当x 旦时，y有最大值4ac b 2a4a七、二次函数解析式的表示方法1 .二次函数解析式表
7、示方法：(1) 一般式：y ax2 bx c (a, b, c 为常数，a 0);(2)顶点式：y a(x h)2 k (a, h, k为常数，a 0)；(3)两根式：y a(x x1)(x x?) ( a 0, x1 , x2是抛物线与x轴两交点的横坐标). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交 点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化2 .二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，
8、选择适当的形式，才能使解题简便.一般有如下几种情况：(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式；(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用 顶点式.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1 .二次项系数a: a 0 . 当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大;当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大.总结：a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a的大小决定开口大小.2. 一次项系数b：
9、在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.在a 0的前提下，当b0时，0,即抛物线的对称轴在 y轴左侧；2a当b0时，0,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b0时，0,即抛物线对称轴在 y轴的右侧.2a在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，0,即抛物线的对称轴在 y轴右侧；2a当b0时，0,即抛物线的对称轴就是 y轴；2a当b0时，0,即抛物线对称轴在 y轴的左侧.2a总结：在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置. ab符号判定：对称轴x 2在y轴左边则ab 0,在y轴的右侧则ab 0,即“左同右异” 2a3.常数项c当c当c 当c 总结：0时，抛物线与0时，抛物线
10、与0时，抛物线与 c决定了抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与 y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y轴的交点在x轴下方，即抛物线与 y轴交点的位置.y轴交点的纵坐标为正；y轴交点的纵坐标为0;y轴交点的纵坐标为负.总之，只要a, b, c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称：y ax. 一. .一 一 .一2y a x h k关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h k .5.关于点m, n对称:2y a x h k关于点 m, n对称后，得到白解析式是 y根据对称的性质，显然无论作何种对
11、称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永 远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时， 习惯上先确定原抛物线 （或表达式已知的抛物 线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然后再写出其对 称抛物线的表达式. bx c关于x轴对称后，得到的解析式是yax2 bx c；2.一 一 .2y a x h k关于x轴对称后，得到的解析式是y a x h k；2 .关于y轴对称：y ax2 bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；2y a x h k关于y轴对称后，得到的解析式是3 .关于原点对称：2、.一 . 一 一 .一2y ax bx c关于原点对
12、称后，得到的解析式是y ax bx c；2y a x h k关于原点对称后，得到的解析式是4.关于顶点对称：（即：抛物线绕顶点旋转180。）2y ax2 bx c关于顶点对称后，得到的解析式是yax2 bx c ;2a x h 2m 2n k2a十、二次函数与一元二次方程:1 .二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况)：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况.图像与x轴的交点个数：(1)当b24ac 0时，图像与x轴交于两点Axi, 0 , Bx2, 0(xix2),其中的xi, x2是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0的两
13、根.这两点间的距离ABx2xi(2)当0时，图像与x轴只有一个交点；(3)当0时，图像与x轴没有交点.当a 0时，图像落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y 0 ;当a 0时，图像落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0 .2 .抛物线y ax2 bx c的图像与y轴一定相交，交点坐标为 (0 , c);3 .二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图像与 x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图像的位置判断二次函数y ax2 bx c中a, b, c的符号，或由二次函数中a,b, c的符号判断图象的位置，要 数
14、形结合；(4)二次函数的图像关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c(a 0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之 间的内在联系：0抛物线与x轴有两个父点二次二项式的值可止、 可零、可负一兀二次方程有两个/、 相等实根0抛物线与x轴只个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程有两个相 等的实数根0抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根.【基础题型概览】一、二次函数的基本概念1、y=mx是二次函数，则 m的值为（）C 0
