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1、课时跟踪检测（三）应用举例层级一学业水平达标1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得 AC的长度为4 m, /A=30 ,则其跨度 AB的长为（）A. 12 mB. 8 mD.4 3m解析：选D 由题意知，/A=/B=30所以/C=180 -30 -30 =120由正弦定理得,AB ACsin C sin B即AB =AC sin Csin B4 sin 120sin 30=4 ,3.2. 一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西 75距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 （a17_62n mile/hC.17 22n
2、 mile/hB. 34v6 n mile/hD. 3472 n mile/h解析：选A如图所示,在4PMN中,PM sin 45MN sin 120 68X 厂MN =-而一=346,MN 17 6v=T= 2 n mile/h.3.若某人在点A测得金字塔顶端仰角为 30。，此人往金字塔方向走了80米到达点B,测得金字塔顶端的仰角为45 ,则金字塔的高度最接近于（忽略人的身高）（）A. 110米B. 112 米C. 220米D. 224 米附解析：选A 如图，设CD为金字塔，AB = 80米.设CD = h,则r由已知得(80+h)X33=h, h= 40(5+1)=109(米).从选项来看
3、110最接近,故选A.4.设甲、乙两幢楼相距 20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60 ,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30。，则甲、乙两幢楼的高分别是（40 3A. 20v3 m, 13 mB. 103 m,203 mC. 10(3-V2)m,20/3 m15 3 D. 2 m,20 3丁 m解析：选A 由题意，知h甲= 20tan 60=20V3(m),h 乙=20tan 60- 20tan 3040 33 (m)5.海上的A, B两个小岛相距10 n mile,从 A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75。的视角，则A. 10V3 n mileB岛与C岛之间的距离是（10 6B.-
4、3- n mileC. 5M2 n mileD. 5v6 n mile解析：选D 由题意，做出示意图，如图，在 ABC中，C= 180BC60 -75 =45 ，由正弦定理，得而能, 解得 BC=H6(nmile).6 .某人从A处出发，沿北偏东60。行走3y3 km到B处，再沿正东方向行走 2 km到C处，则A, C两地的距离为km.解析：如图所示，由题意可知 AB =3也BC=2, ZABC =150由余弦定理，得AC2=27+4 2X3仍X2Xcos 150 =49, AC = 7.则A, C两地的距离为7 km.答案：77 .坡度为45的斜坡长为100 m,现在要把坡度改为 30 ,则
5、坡底要伸长 m.解析：如图，BD=100, ZBDA=45 , ZBCA = 30 ,上设 CD=x，所以（x+DA）tan 30 = DA tan 45 ,/r-5n I一一2又 DA = BDcos 45 =100Xk=5042,所以x =DA = /J 3tan 30DA tan 45= 50(乖-小)m.答案:50（乖一小）答案：修求乙船航行的速度.解：如图，连接 AiB2,在A1A2B2中，易知/AiA2B2=60 ,又易求得 AiA2= 302x1 3=10-2 = A2B2, A1A2B2为正三角形,BiB2= 10 .2,，乙船每小时航行30. 2海里.10.如图所示，在地面上
6、共线的三点 A, B, C处测得一建筑物的仰角分别为30 , 45 , 60 ,且 AB = BC=60 m,求建筑物的高度.8. 一蜘蛛沿东北方向爬行到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，那么x=cm.10A 3 (cm)x cm捕捉到一只小虫,然后向右转105 ,爬行10 cm捕捉解析：如图所示，设蜘蛛原来在 。点，先爬行到 A点，再爬行到 B 点，易知在AOB 中，AB=10 cm, JOAB=75 , ZABO=45则ZAOB = 60 ,由正弦定理知:AB sinABOx=sin4OB10Xsin 45sin 609.如图，甲船以每小时 3s/2海里的速度向正北方向航行，
7、乙船按固方向的Bi处，此时两船相距 20海里，当甲船航行 20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距 1042海里,AiB2= 10 2.13支定方向匀速直线航行， 当甲船位于 Ai处时，乙船位于甲船的北偏西 105在A1B1B2 中，易知/BiAiB2=45(BiB2)2=400+200 2X20X 10/2=200解：设建筑物的高度为 h,由题图知,PA= 2h, PB =业，PC = V3h,在ZPBA和APBC中，分别由余弦定理,602+2h24h2得 cosZPBA=,2X60X 2h602+2h24h2cos/PBC =f=-.2X 60X V2h
8、PBA+/PBC=180 ,cos ZPBA + cosZ PBC= 0.由，解得 h=30m或h=- 30m（舍去），即建筑物的高度为 30& m.层级二应试能力达标1.如图，从气球 A上测得其正前下方的河流两岸B, C的俯角分别为75,30 ,此时气球的高度A. 240(73- 1)mC. 120(73- 1)mAD是60 m,则河流的宽度 BC是()B. 180(*1)mD. 30(3+ 1)m解析：选 C 由题意知，在 RtADC 中，ZC=30 , AD = 60 m, AC= 120 m.在4ABC 中，ZBAC = 75 30 =45 , ZABC=180 45 30 =105
9、,由正弦定理,得BC =ACsin ZBAC120TsinZABC= 120(731)(m).2.如图所示为起重机装置示意图.支杆吊索AB= 519 m,起吊的货物与岸的距离A. 30 mC. 15v3 mBC= 10 m,吊杆 AC= 15 m,AD 为()15B. 2 mD . 45 m解析：选B在AABC 中，AC =15 m, AB=5/i9 m, BC= 10 m,AC2+ BC2- AB2由余弦定理得2 X AC X BC152+ 102- 5,19 22X15X 101：3二，sinZACB= o . 22又 ZACB + /ACD=180一一 3sin4CD = sin ZAC
10、B =之m.在 RtAADC 中，AD = AC sinZACD = 15X 堂=3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C, D两个观测点，且在 C, D两点测得塔顶的仰角分别为 45 , 30 ,在水平面上测得/ BCD = 120 , C, D两地相距 500 m则电视塔AB的高度是（）B. 400 mD. 500 mA. 10MC. 200*解析：选 D 设 AB=x,在 RtMBC 中，ZACB=45BC = AB=x.在 RtABD 中，ZADB = 30 , BD=V3x.在ABCD 中，ZBCD = 120CD =500 m ,由余弦定理得（3x）
11、2= x2+ 5002 2X 500xcos 120 ,解得 x= 500 m.4.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东 45与观测站A距离206海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站 A东偏北0（0 。45。）的C处，且cos 0= 5已知A, C两处的距离为10海里，则该货船的船速为（）A, 4785海里/小时B. 385海里/小时C. 25海里/小时D. 4m海里/小时解析：选 A 因为 cos 0= 4, 0 10X 普=340,所以 30 = 2屈，该 货船的船速为邛5= 4乖5海里/小时.25.如图所示，客轮以速度 2v由A至B再到C匀速航
12、行，货轮从 AC 的中点D出发，以速度 v沿直线匀速航行，将货物送达客轮.已知 AB XBC,且AB=BC=50 n mile,若两船同时起航出发，则两船相遇之处 距C点 n mile（结果精确到小数点后一位 ）.解析：由题易知两船相遇之处 M位于BC上，如图，设|MC| = d,100 4d2+ 25 2 2 立 d 25啦cos 452v(M位于BC延长线上取 “ + ”M位于BC上取),所以(100 =d)2=4d2+(2572)250d,即 3d2= 1002-5 000,所以 d2 = -5y0即 d= 40.8(nmile).答案：40.86.甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东6
13、0方向的B处，两船相距a n mile,乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的 5倍，则甲船应沿追上时甲船行驶了n mile.解析：如图所示，设在 C处甲船追上乙船，乙船到 C处用的时间为t,乙船的速度为 v,则BC=tv, AC=43tv,又B=120 ,则由正弦定理BC一，得1二 -其,sinzCAB=；sin /CAB sin Bsin /CAB sin 1202方向行驶才能追上乙船;CAB = 30 ，甲船应沿北偏东30方向行驶.又/ACB=180-120 -30 =30 , BC = AB=a n mile, AC = aB2 + BC22AB BCcos 120+ a22a2 !2 = V3a(n mile)答案：北偏东3043a7.如图所示，在社会实践中，小明观察一棵桃树.现桃树顶端点C的仰角大小为45 ,往正前方走发现桃树顶端点C的仰角大小为75。.(1)求BC的长;C离地面的高度(精确到0.01 m,其中43(2)若小明身高为1.70 m,求这棵桃树顶端点 1.732).解：(1)在AABC 中，ZCAB=45 , ZDBC = 75 ,则ZACB=75 -45 =30 , AB = 4,由正弦定理得BCsin 45 sin 30
