高中数学两类恒成立问题 恒成立是一个数学概念，指的是当某一变量在某一特定范围内任意取值时，关于这个变量的一个代数式总是满足某一个不等式是成立的，我们把这种“总是满足”叫做恒成立恒成立这个数学问题的意义在于求解未知数的范围或者解集例如，若 恒成立，求总是满足不等式成立 的取值范围，可解不等式 ，得 ，就意味着 在 时恒成立不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记的教学经验谈谈高中数学两类常见的恒成立问题在高中数学函数和不等式问题中，存在两大类恒成立问题，两类问题既可以从数的角度去证明，又可以从形的角度去解释，这充分体现了高中数学数形结合的思想，解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面将从两个典型问题入手来分析两类恒成立问题例1． ， ，证明 恒成立.证明：若要证明 恒成立，即需证明不等式 恒成立，即需证明不等式 恒成立，由于 显然成立，所以原不等式得证.第一类恒成立问题属于单变量问题，从代数角度来看 恒成立可转化为 恒成立，从图形角度来看函数 图像在 取任意值时都位于函数 图像正上方，如下图1所示。
图1 图2例2． ， ，证明 恒成立.证明： 得 ， ， ，即可得到 恒成立，所以原不等式得证.第二类恒成立问题属于双变量问题，从代数角度来看 恒成立可以转化为 恒成立，从图形角度来看函数 图像位于某水平直线上方，而函数 图像位于该水平直线下方，如上图2所示通过上述两类恒成立问题或许学生就能明白 的最大值为什么不是 ，而 的最大值却可以是2在解决数学问题上，两种恒成立问题是相互联系的，有时候需要用代数方法解决第一类恒成立问题难以操作的时候，我们可以把第一类恒成立问题转化为第二类恒成立问题，将复杂问题简单化，下面将引入典型问题来对两类恒成立问题进行转化例3．证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有 恒成立证明：问题等价于证明 ，利用导数可以求得 的最小值是 ，当且仅当 时取到.设 ， ，则 ，易知 ，当且仅当 时取到,所以 .从而对一切x∈(0，＋∞)，都有 恒成立.图3如上图3所示，是把第一类不等式恒成立问题转化为第二类不等式恒成立问题，在上述两类恒成立问题的证明过程中，可以看到两类恒成立问题既有联系又有区别，既对立又统一，在分析数学问题、解决数学问题上有着各自的特点高中数学恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是高考的一个热门题型，它以“参数处理”为主要特征，以“导数”为主要解题工具。
往往与函数的单调性、极值、最值等有关，所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述两类不等式恒成立问题仅仅是恒成立问题的一部分，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高全文完-。