3.1.2函数的表示法 课标定位 素养阐释 1.掌握函数的三种表示方法:解析法、图象法、 列表法. 2.了解分段函数的概念,会用分段函数表示函数 关系. 3.理解函数图象的作用,掌握函数图象的作法. 4.感悟数学抽象的过程,体会直观想象在研究函 数中的作用. 自主预习新知导学 合作探究释疑解惑 规 范 解 答 随 堂 练 习 自主预习新知导学 一、函数的表示方法 【问题思考】 1.给出下列三个对应关系: x,yR,y=4x-1; 它们分别是用什么形式表达两个变量x,y之间的对应关系 的?它们是否都是函数关系? 提示:分别用解析法、列表法、图象法表示对应关系,它们都 是函数关系. 2.填空: 函数的三种表示方法: (1)解析法,就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系; (2)列表法,就是列出表格表示两个变量之间的对应关系; (3)图象法,就是用图象表达两个变量之间的对应关系. 3.函数三种表示方法的比较 二、分段函数 【问题思考】 1.某商店销售一种商品,当销售量x不超过20件时,单价为100 元;当销售量超过20件时,超出部分按原件的90%计算,那么销 售收入y与销售量x的函数关系应怎么表达? 提示:当0 x20时,y=100 x;当x20时,y=10020+(x-20)90. 2.填空:在函数定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不 同的对应关系,这样的函数叫做分段函数. A.B. C. D. 答案:B 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误 的打“”. (1)任何函数都可用解析式表示.() (2)函数y=x2+1不能用列表法表示.() (3)函数的图象一定是一条连续不断的曲线.() (4)分段函数是由几个函数组合而成的.() 合作探究释疑解惑 探究一 函数的表示方法 【例1】 某商店新进了10部,每部售价3000元,试分别用 列表法、图象法、解析法表示售出部数x与销售额y之间的函 数关系. 解:(1)列表法:如下表. (2)图象法:如图. (3)解析法:y=3000 x,x1,2,3,10. 反思感悟 1.列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论用哪种方 式表示函数,都必须满足函数的概念. 2.判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是 否满足函数的定义. 3.函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种 方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主. 【变式训练1】已知函数f(x),g(x)分别由下表给出: (1)求f(g(1),g(f(3)的值; (2)求满足f(g(x)g(f(x)的x的值. 解:(1)f(g(1)=f(3)=1,g(f(3)=g(1)=3. (2)当x=1时,f(g(1)=f(3)=1,g(f(1)=g(1)=3,不合题意; 当x=2时,f(g(2)=f(2)=3,g(f(2)=g(3)=1,符合题意; 当x=3时,f(g(3)=f(1)=1,g(f(3)=g(1)=3,不合题意; 综上,x的值等于2. 探究二 函数的图图象及其画法 解:(1)选择容易计算的几个数值,列表如下: 根据表中数据在平面直角坐标系中描点、连线,得到函数图 象如图所示. (2)图象为一次函数y=1-x所对应的直线上的一些离散的点. (4)该函数为分段函数,其图象由两部分组成,当0 x1时,为 抛物线y=x2上的一段;当-1x0时,为直线y=x+1上的一段. 反思感悟 作函数图象的常用方法: (1)描点作图法:这是作函数图象的基本方法,其步骤是列表、 描点、连线. (2)基本函数法:对于我们熟悉的一次函数、二次函数、反比 例函数等,可直接根据以前学过的知识作出图象. (3)分段函数分段法:对于分段函数,应分段作图,将每一段区间 上对应的函数图象作出,即得该分段函数的图象. 【变式训练2】 下列图形中,能够作为某个函数图象的是( ) 解析:由函数的定义可知,对于x的每一个值,都有唯一的y值与 之对应,亦即垂直于x轴的直线与函数图象最多有一个交点,因 此只有D项符合. 答案:D 探究三 分段函数的求值问题值问题 解:依题意有f(-7)=f(-7+2)=f(-5)=f(-5+2)=f(-3)=f(-3+2) =f(-1)=f(-1+2)=f(1)=21-3=-1. 反思感悟 求分段函数的函数值的方法: (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间; (2)代入相应段的解析式求值,直到求出值为止; (3)当出现f(f(x0)形式的求值问题时,应由内到外依次求值. 规 范 解 答 分段函数的解析式问题 【典例】 已知函数f(x)=x2+1,g(x)=2x+4.若定义函数h(x):当 f(x)g(x)时,h(x)=f(x)-2g(x);当f(x)g(x)时,h(x)=2f(x)-g(x). (1)写出h(x)的解析式; (2)求h(h(g(-2)的值. 审题策略:(1)由给出的h(x)的定义,通过解不等式得出自变量 的两个不同取值区间,按照分段函数的形式写出解析式; (2)由内向外逐步求值. 规范展示:(1)当f(x)g(x),即x2+12x+4时,解得x-1或x3, 此时h(x)=f(x)-2g(x)=x2+1-2(2x+4)=x2-4x-7; 当f(x)g(x),即x2+12x+4时,解得-1x3,此时h(x)=2f(x)- g(x)=2(x2+1)-(2x+4)=2x2-2x-2. (2)因为g(-2)=2(-2)+4=0, 所以h(h(g(-2)=h(h(0), 而h(0)=202-20-2=-2, 所以h(h(g(-2)=h(-2)=(-2)2-4(-2)-7=5. 答题模板:第1步:由f(x)g(x)求得x的取值范围,并写出此时 h(x)的解析式. 第2步:由f(x)g(x)求得x的取值范围,并写出此时h(x)的解析 式. 第3步:根据分段函数的形式写出h(x)的解析式. 第4步:先求g(-2)的值,再求h(g(-2)的值,最后求得h(h(g(-2)的 值. 失误展示 造成失分的原因主要如下: (1)解错不等式,导致分段函数的分段范围错误; (2)计算化简错误,导致h(x)的解析式错误; (3)h(x)的结果不符合分段函数的要求; (4)计算出错,导致结果错误. 【变式训练】 我国是水资源相对匮乏的国家,为鼓励节约用 水,某市打算出台一项水费政策措施,规定每季度每人用水量 不超过5吨时,每吨水费收基本价1.3元,当超过5吨而不超过6 吨时,超过部分的水费加收200%,当超过6吨而不超过7吨时, 超过部分的水费加收400%.如果某人本季度实际用水量为 x(x7)吨,试计算,本季度他应缴多少水费? 解:用y表示本季度应缴水费(单位:元). 当0 x5时,y1=1.3x. 当5x6时,应把x分成两部分:5与(x-5)分别计算,第一部分收 基本水费1.35(元),第二部分由基本水费与加价水费组成,即 1.3(x-5)+1.3(x-5)200%=1.3(x-5)(1+200%), 则y2=1.35+1.3(x-5)(1+200%)=3.9x-13. 当6x7时, 同理y3=1.35+1.3(6-5)(1+200%)+1.3(x-6)(1+400%) =6.5x-28.6. 随 堂 练 习 答案:B 2.函数y=f(x)的图象如图,则f(x)的定义域是() A.R B.(-,1)(1,+) C.(-,0)(0,+) D.(-1,0) 解析:由题中图象可知,函数自变量不能取x=0, 故定义域为(-,0)(0,+). 答案:C 解析:由分段函数的图象知C项正确. 答案:C 解析:因为f(0)=2,所以f(f(0)=f(2)=4+2a,于是有4+2a=4a,解得 a=2. 答案:2 (1)用分段函数的形式表示函数f(x); (2)画出函数f(x)的图象; (3)写出函数f(x)的值域. (2)函数f(x)的图象如图所示. (3)由(2)知,f(x)在区间(-2,2上的值域为1,3). 十年寒窗磨利剑，十年寒窗磨利剑， 一朝折桂展宏图！一朝折桂展宏图！ 。