1 第六章第六章 不等概率抽样不等概率抽样 第一节第一节 不等概率抽样概述不等概率抽样概述 第二节第二节 放回不等概率抽样放回不等概率抽样 第三节第三节 不放回不等概率抽样不放回不等概率抽样 2 第一节第一节 不等概率抽样概述不等概率抽样概述 一、不等概率抽样的必要性 在简单随机抽样中，总体(或层)中的每个单 元入样的概率都相等如果总体中的每个单元在 该总体中的地位(或重要性)相差不多，则这种基 于等概率的抽样是理所当然的选择等概率抽样 不仅实施简单，而且相应的数据处理公式也简单 但是在许多实际问题中，我们还需要使用不等 概率抽样(sampling with unequal probabilities) 3 一种情况是调查的总体单元与抽样总体的单 元可能不一致 另一种需要用到不等概率抽样的情况是，抽 样单元在总体中所占的地位不一致 最重要的一种不等概率抽样乃是使每个单元 入样的概率与该单元的大小成比例的抽样 (sampling with probabilities proportional to sizes，简称PPS抽样) 4 第三种需用不等概率抽样的情况是为了改善 估计量的特性每个可能的样本若被抽的概率与 样本中单元的辅助变量之和成正比的话，则按此 进行不等概率抽样所得到的样本，用通常的比估 计方法所得的估计量是无偏的。
5 总之，在实际工作中需要我们经常采用不等 概率抽样另外，从上面列举的情况也可看到， 凡需使用不等概率抽样的场合，必须提供总体单 元的某种辅助信息，例如每个单元的“大小”度 量Mi或辅助变量Xi等 6 二、不等概率抽样的主要分类 不等概率抽样可按多种原则进行分类鉴于 不等概率抽样同时会带来目标量估计及其方差估 计的复杂性，可分为 放回抽样：每次在总体(或层)中按一定概率 抽取一个单元，抽取后放回总体，再进行下一次 抽样，每次抽样都是独立的 不放回抽样其代价是：由于丧失了独立性 ，无论是抽样方法还是方差估计，都要比放回抽 样繁复得多 7 另一种分类是：视每次抽样(放回抽样的情形 )概率或每个单元的入样概率(不放回抽样的情形) 是否严格地与单元的大小成比例另外，看样本 量n是固定的还是随机的最重要的情形乃是当n 固定，且上述概率与单元大小严格成比例的不等 概率抽样以后我们将这种情形的放回抽样称为 PPS抽样，称相应的不放回抽样为PS抽样 8 对于不放回抽样，按其样本单元抽取方式的 不同又可分为以下几种方法： 1.逐个抽取法每次从尚未入样的单元中以 一定概率抽取一个单元，这个概率通常与已经入 样的单元有关， 2.重抽法。
以一定概率逐个进行放回抽样， 若一旦抽到重复单元，则放弃所有已抽到的单元 而重新抽取，直到抽到规定单元数且所有入样单 元都不同为止 Back 9 3.系统抽取法将总体单元按某种顺序排列， 且将规定的单元入样（或其倍数）累计起来，并 确定抽样间隔，在这个范围内产生一个随机数以 确定初始入样单元，然后按上述抽样间隔确定其 余的样本单元 4.全样本方法对每个可能样本规定一个被 抽中的概率，按这个概率一次抽取整个样本 Back 10 三、不等概率抽样的特点 不等概率抽样的主要优点是由于使用了辅助 信息，提高了抽样策略的统计效率，与简单随机 抽样甚至与分层抽样相比，能显著地减少抽样误 差 11 不等概率抽样有以下的缺点： 抽样框中的所有单元，都要有高质量的、能用 作大小度量的辅助信息； 抽样框的创建比简单随机抽样和系统抽样成本 高，更复杂，因为需要度量和存储总体中每一个单 元的大小； 并非在任何情况下都能使用，因为并不是每一 个总体都有稳定且与主要调查变量相关的有关大小 或规模的度量； 抽样及估计（特别对不放回抽样）相当复杂； 当单元大小度量不准确或不稳定时不适用，此 时更好的办法是将单元按大小分组并使用分层抽样 。
Back 12 第二节第二节 放回不等概率抽样放回不等概率抽样 一、多项抽样 多项抽样是一种最简单的不等概率抽样它 是从容量为N的总体中有放回地进行独立抽样， 每次抽样中，使抽到第i个单元的概率为Zi，i=1 ，2，N， ，连续抽n次，从而抽 到n个单元 13 若记为总体中第i个单元在n次抽样中被抽到 的次数，显然对每个i都有： ， 且 作为随机变量（ ， ， ）， 它的联合分布即是以下的多项分布： 这就是多项抽样这个术语的来源 14 根据多项分布的性质，有 当每个单元具有一个说明其大小或规模 的 度量时，每个单元在每次抽样中的入样概率与单 元大小成比例，称这种特殊的多项抽样为放回的 与大小成比例的概率抽样，简称PPS抽样 15 二、PPS抽样 PPS抽样是与大小（或规模）成比例的概率抽 样，是一种使用辅助信息从而使入样概率不相等 的抽样技术 如果总体单元的大小或规模变化很大，且这 些大小是已知的，这样的信息就可以用在抽样中 ，以提高统计效率如果单元大小的度量是准确 的，而且所研究的变量与单元的大小相关，PPS抽 样能极大地提高精度但如果大小的度量不大准 确，最好按大小分组并使用分层抽样。
16 PPS抽样的入样概率如上所述，PPS抽样时 可取 为第i个单元的入样概率，其中 是总 体中所有单元的“大小”之和， 为第i个单元 的大小 17 有时，关于单元的大小 只是约略知道或 这个“大小”并不是用单元所含的次级单元数来 表示的，而是用其它有关尺度来计量此时，设 第i单元大小的计量尺度为 ，则有： 这时的PPS抽样也称作PPZ抽样 18 三、多项抽样的实施方法 如何抽取一个不等概率样本呢？有三种主要 方法：代码法、系统法及随机系统法以下的讨 论以PPS抽样为例，并假定单元大小皆为整数 19 （1）代码法(累计和法，随机法或汉森赫维 茨法) 设N不太大，且 （或 ）为第i单元大小的 度量，且为整数，对总体中的每个单元计算累计大 小，得到总体所有单元代码的累计和 ，对总体 中每个单元确定与它相对应的代码范围；在1到总 的累计大小 范围内抽取一个随机数，该随机数 相应的代码范围中的单元即为入样单元重复上述 步骤，直到抽得n个单元为止 20 PPS抽样时，单元的代码如下表： 21 （2）拉希里法（二次抽样法） 代码法要将 累计，在N不太大时是适用的 ，但当N很大时，就很不方便此时可用Lahiri（ 拉希里）1951年提出的方法。
令 每次抽取一个范围内的随机数 及 范围内的随机数m，若 ，则第 单元 入样；否则,重抽 此时，第i个单元的 入样概率与 成正比，从而 重复这 一过程，直到抽够所需的 个单元 22 （3）系统PPS抽样方法 对总体中的每个单元，计算累计大小； 对总体中每个单元确定与它相对应的代码范 围； 确定抽样间隔k=总累计大小/n； 在1和k的范围内确定一个随机起点r； 与代码r，r+k，r+2k，r+（n-1）k所在 范围相对应的单元入样 注意，当r+（n-1）k超过总累计大小时，应 使用圆形系统抽样中的模余数法 23 （4）随机系统抽样法 在这种方法中，名录在系统抽样前要进行随机 排序如果完全按原来的排序，会把一些可能的样 本排除在外在上面介绍的系统抽样的例子中，不 可能把单元3和4同时抽入同一个样本把名录重新 随机排列后会增加潜在的可能抽到的样本数量 实际上这些方法都有些问题例如，对系统抽 样法或随机系统抽样法，一个大小大于抽样间隔的 单元，就有重复被抽中的可能只有把这些大单元 放入单独的一个层，并独立地对它们进行抽样，才 能克服这个问题另一个问题是估计值的抽样方差 估计比较困难 24 四、估计量 对于多项抽样，由于抽样是不等概率的，每 个样本单元的观测值就不再是“平等的”，因此 对于总体参数的估计与等概率抽样不同。
汉森 赫维茨提出，如果 是按 为入样 概率的多项抽样抽得的样本指标值，相应的 为 ，则总体总和Y的无偏估计量如下： 25 且 若n1，则 的无偏估计量为 26 对于PPS抽样， ，所以有 其中 是第i个样本单元的观测值，例如商店的 年销售额，而 是该单元的大小，例如商店的员 工人数，则 即是第i个商店人均年销售额 对n个 取平均即是样本商业网点人均 年销售额的平均，将此数乘以 ，即该地所有 商业网点的员工总数，即可获得该地商业销售总 额的估计 27 举例： 下表是某系统全部N=36个单位上一年职工人 数及当年职工人数的数据，以为单位大小的度量 ，对单位进行PPS抽样，n=6，估计全系统当年职 工总人数Y，并与简单随机抽样做精度比较 28 第三节第三节 不放回不等概率抽样不放回不等概率抽样 一、包含概率与PS抽样 放回不等概率抽样实施简单，数据处理也不复 杂，在不等概率抽样中占有一定的地位但是由于 放回抽样有可能重复抽到同一单元，特别是个别大 单元被重复抽到的可能性比较大，这就在一定程度 上影响了样本的代表性，降低了抽样效率，也不易 被实际工作者所接受即使在相同样本量下，放回 抽样的精度比不放回抽样的差。
因此，我们仍有必 要研究不放回不等概率抽样 事实上，由于不放回抽样的样本不是独立的， 因此无论是实施还是数据处理，特别是方差估计， 都要比放回的多项抽样复杂得多 29 在放回的不等概率抽样中，每个单元的入样 概率起着关键作用在不放回抽样中，每个单元 被包含到样本的概率也即入样概率及任意两个单 元都包含到样本的概率都起着十分重要的作用， 它们通称为包含概率 对于固定的n包含概率满足以下性质： （1） （2） （3） 其中性质1是显然的性质2是对每个已在样本中 的单元而言的，固定了这个特定单元，总体中其 它N-1个单元在样本中只可能有n-1个单元，因此 其中最后一个等式利用了性质1性质3则直接利 用性质2： 与放回的PPS抽样类似，对于不放回不等概率 抽样，我们最感兴趣的是 与单元大小 成比 例的情形 若仍记 ，则由性质1有： 以后我们将这种不放回的与单元大小成比例 的概率抽样称为PS抽样 严格的PS抽样实施起来非常复杂事实上 ，只有当n=2时，才有一些简单且实用的方法在 不放回抽样的情形，如果抽选的单元多于一个， 要使入样概率与单元大小成正比以及对调查估计 值的误差进行估计都比较复杂在用不放回PS 抽样抽取多于两个单元时，情况就更加复杂。
实 际上，这仍是一个需要进行认真研究的问题除 了实施方面的原因外，当n大时， 的计算也极 其困难，而这对于方差估计是不可少的 二、霍维茨汤普森估计量及其性质 对不放回的不等概率抽样，总体总和Y的估 计采用霍维茨（Horvitz）与汤普森（Thompson ）提出的以下估计量： 注意这个估计量与多项抽样的汉森赫维茨 估计量 非常相似事实上，对于PS抽样 ，由于 ， 与相应PPS抽样的 完全 一致 霍维茨汤普森估计量具有如下性质： （1）若 ，则 是Y的无 偏估计，且它的方差为： 当n固定时，又有 （2）若 ，则 是 的无偏估计 又当n固定时，以下的耶茨（Yates）格伦 迪（Grundy）森（Sen）估计量 也是 的无偏估计： 37 三、n=2的严格PS抽样 对于PS抽样，由于作为总体总和的霍维茨 汤普森估计量的形式相当简单，因此就应用角 度来说，是否便利主要在于它的实施方法以及 的计算当n=2时，有几种比较实用的方法（ 但在具体应用中，n=2并不是一个十分严重的限制 ）这些方法常用在对总体分层，在每层中抽取 两个样本单元的情况 38 （1）布鲁尔（Brewer）方法 该方法要求对每个i，都满足 ，即总体 （层）中的最大单元必须小于全部单元大小总和 的1/2（若不然可以将这个“特大”单元作为必调 查的单元）。
两个样本单元采用逐个抽取法抽取 ：第一个单元按与 成比例的概率抽取；第二个单元则在剩下的N-1个 单元中按与成比例的概率抽取 39 （2）德宾（Durbin）方法 两个样本单元仍用逐个抽取法抽取第一个 样本单元以概率抽取，设抽到的是单元i；第二 个样本单元则按与 。