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1、2020高考真题汇编3：导数及其应用一、填空题1【2020年高考全国卷文数】曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 .2【2020年高考全国卷文数】设函数若，则a=_3【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在这三段时间中，在
2、的污水治理能力最强其中所有正确结论的序号是_二、解答题4【2020年高考全国卷文数】已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.5【2020年高考全国卷文数】已知函数f（x）=2lnx+1（1）若f（x）2x+c，求c的取值范围；（2）设a0时，讨论函数g（x）=的单调性6【2020年高考全国卷文数】已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有三个零点，求的取值范围7【2020年新高考全国卷】已知函数（1）当时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）1，求a的取值范围8【2020年高考天津】已知函数，为的导函数（）当时，（
3、i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（）当时，求证：对任意的，且，有9【2020年高考北京】已知函数（）求曲线的斜率等于的切线方程；（）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值10【2020年高考浙江】已知，函数，其中e=2.71828是自然对数的底数（）证明：函数在上有唯一零点；（）记x0为函数在上的零点，证明：（）；（）11【2020年高考江苏】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，为铅垂线(在AB上)经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离(米)与D到的距离a(米)之间满足关系式；右侧
4、曲线BO上任一点F到MN的距离(米)与F到的距离b(米)之间满足关系式.已知点B到的距离为40米（1）求桥AB的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价(万元)(k0)，问为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？12【2020年高考江苏】已知关于x的函数与在区间D上恒有（1）若，求h(x)的表达式；（2）若，求k的取值范围；（3）若求证：参考答案1答案：解析：设切线的切点坐标为，所以切点坐标为，所求的切线方程为，即.故答案为：.2答案：1解析：由函数的解析式可得：，则：，据此可得：，整理
5、可得：，解得：.故答案为：.3答案：解析：表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；正确；故答案为：4解析：（1）当a=1时，f（x）=exx2，则=ex1当x0时，0时，0所以f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增（2）=exa
6、当a0时，0，所以f（x）在（，+）单调递增，故f（x）至多存在1个零点，不合题意当a0时，由=0可得x=lna当x（，lna）时，0所以f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）单调递增，故当x=lna时，f（x）取得最小值，最小值为f（lna）=a（1+lna）（i）若0a，则f（lna）0，f（x）在（，+）至多存在1个零点，不合题意（ii）若a，则f（lna）0，所以f（x）在（，lna）存在唯一零点由（1）知，当x2时，exx20，所以当x4且x2ln（2a）时，故f（x）在（lna，+）存在唯一零点，从而f（x）在（，+）有两个零点综上，a的取值范围是（，+）5解析：设h(x
7、)=f(x)2xc，则h(x)=2lnx2x+1c，其定义域为(0，+)，.（1）当0x0；当x1时，h(x)0.所以h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，+)单调递减.从而当x=1时，h(x)取得最大值，最大值为h(1)=1c.故当且仅当1c0，即c1时，f(x)2x+c.所以c的取值范围为1，+).（2），x(0，a)(a，+).取c=1得h(x)=2lnx2x+2，h(1)=0，则由（1）知，当x1时，h(x)0，即1x+lnx0.故当x(0，a)(a，+)时，从而.所以在区间(0，a)，(a，+)单调递减.6解析：（1）当k=0时，故在单调递增；当k0时，令，得当时，；当时，；
8、当时，故在，单调递增，在单调递减（2）由（1）知，当时，在单调递增，不可能有三个零点当k0时，为的极大值点，为的极小值点此时，且，根据的单调性，当且仅当，即时，有三个零点，解得因此k的取值范围为7解析：的定义域为，（1）当时，曲线在点处的切线方程为，即直线在轴，轴上的截距分别为，因此所求三角形的面积为（2）当时，当时，当时，；当时，所以当时，取得最小值，最小值为，从而当时，综上，的取值范围是8解析：（）（i）当时，故可得，所以曲线在点处的切线方程为，即（ii）依题意，从而可得，整理可得令，解得当变化时，的变化情况如下表：1-0+极小值所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；的极小值为，无极
9、大值（）证明：由，得对任意的，且，令，则 令当时，由此可得在单调递增，所以当时，即因为，所以， 由（）（ii）可知，当时，即，故 由可得所以，当时，对任意的，且，有9解析：（）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程：，即.（）显然，因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为.10解析：（）因为，所以在上存在零点因为，所以当时，故函数在上单调递增，所以函数以在上有唯一零点（）（）令，由（）知函数在上单调递增，故当时，所以函数在单调递增，故由得，因为在单调递增，故令，
10、令，所以故当时，即，所以在单调递减，因此当时，由得，因为在单调递增，故综上，（）令，所以当时，故函数在区间上单调递增，因此由可得，由得11解析：（1）设都与垂直，是相应垂足.由条件知，当时， 则.由得 所以（米）.（2）以为原点，为轴建立平面直角坐标系（如图所示）.设则 .因为所以.设则 所以 记桥墩和的总造价为，则 ，令 得 所以当时，取得最小值.答：（1）桥的长度为120米；（2）当为20米时，桥墩和的总造价最低.12解析：（1）由条件，得，取，得，所以由，得，此式对一切恒成立，所以，则，此时恒成立，所以（2）.令，则令，得.所以.则恒成立，所以当且仅当时，恒成立另一方面，恒成立，即恒成立，也即恒成立因为，对称轴为，所以，解得因此，k的取值范围是 （3）当时，由，得，整理得 令 则记则恒成立，所以在上是减函数，则，即所以不等式有解，设解为，因此当时，设， 令，得当时，是减函数；当时，是增函数，则当时，（或证：）则，因此因为，所以当时，因为，均为偶函数，因此也成立综上所述，第14页
