(NEW)北京大学数学系《高等代数》（第3版）【教材精讲＋考研真题解析】讲义

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1、目录 第1章多项式视频讲解 1.1本章要点详解 1.2配套考研真题解析 第2章行列式视频讲解 2.1本章要点详解 2.2配套考研真题解析 第3章线性方程组视频讲解 3.1本章要点详解 3.2配套考研真题解析 第4章矩阵视频讲解 4.1本章要点详解 4.2配套考研真题解析 第5章二次型视频讲解 5.1本章要点详解 5.2配套考研真题解析 第6章线性空间视频讲解 6.1本章要点详解 6.2配套考研真题解析 第7章线性变换视频讲解 7.1本章要点详解 7.2配套考研真题解析 第8章矩阵视频讲解 8.1本章要点详解 8.2配套考研真题解析 第9章欧式空间视频讲解 9.1本章要点详解 9.2配套考研真题

2、解析 第1章多项式视频讲解 1.1本章要点详解 本章要点 数域及其性质 多项式运算及其运算性质 整除的判别与性质 最大公因式的存在性与求法 不可约多项式与因式分解唯一性定理 重因式的判别 重难点导学 一、数域 1定义 00:00 / 00:00 设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数（这 两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的 数，则称P为一个数域 全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都 是数域，这三个数域分别用字母Q，R，C来代表全体整数组成的集合 不是数域 注：（1）如果数的集合P中任意两个数作某一运算的结果都仍在P中，

3、 则数集P对这个运算是封闭的 （2）数域的等价定义：如果一个包含0，l在内的数集P对于加法、减 法、乘法与除法（除数不为0）是封闭的，则称P为一个数域 2性质 任意数域P都包括有理数域Q 二、一元多项式 1一元多项式的概念 （1）一元多项式的概念 00:00 / 00:00 设x是一个符号（或称文字），n是一非负整数，形式表达式 ， 其中a0，a1，an全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式， 或者简称为数域P上的一元多项式 在多项式中，用f（x），g（x），或f，g，来代表多项式 注：在多项式中 aixi称为i次项，ai称为i次项的系数； 如果an0，则称anxn为多项式的首项，an称

4、为首项系数，n称为多项式 的次数，多项式f（x）的次数记为：； 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0零多项式是唯一不定义 次数的多项式 （2）多项式相等 如果在多项式f（x）与g（x）中，除去系数为零的项外，同次项的系数 全相等，则称f（x）与g（x）相等，记为f（x）g（x） （3）多项式的运算 设，是数域P上两个多项 式，即 ， 和运算：在表示多项式f（x）与g（x）的和时，如nm，在g（x）中 令bnbn-1bm10则f（x）与g（x）的和为 积运 算：f（x）与g（x）的乘积为 其中s次项的系数是 所以f（x）g（x）可表成 （4）多项式运算性质 数域P上的两个多项式经过加、减、乘等

5、运算后，所得结果仍然是数 域P上的多项式 对于多项式的加减法 对于多项式的乘法，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的成 积；如果f（x）0，g（x）0，故f（x）g（x）0，并且 加法交换律：f（x）g（x）g（x）f（x） 加法结合律：（f（x）g（x）h（x）f（x）（g（x） h（x） 乘法交换律：f（x）g（x）g（x）f（x） 乘法结合律：（f（x）g（x）h（x）f（x）（g（x）h（x） 乘法对加法的分配律：f（x）（g（x）h（x）f（x）g（x） f（x）h（x） 乘法消去律：如果f（x）g（x）f（x）h（x）且f（x）0，那么 g（x）h（x） 2一元多形式环 所有系

6、数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式 环，记为Px，P称为Px的系数域 三、整除的概念 1带余除法 对于Px中任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）0，一定有 Px中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）q（x）g（x） r（x）成立，其中或者r（x）0，并且这样的q（x）， r（x）是唯一决定的 带余除法中所得的q（x）通常称为g（x）除f（x）的商，r（x）称为 g（x）除f（x）的余式 2整除定义 数域P上的多项式g（x）称为整除f（x），如果有数域P上的多项式 00:00 / 00:00 h（x）使等式 f（x）g（x）h（x）成立g（x）整除f（x）记

7、为g（x）丨f（x）， g（x）不能整除f（x）记为 当g（x）丨f（x）时，g（x）称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的 倍式 3整除的判别 对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）0， g（x）丨f（x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零 注：任一个多项式f（x）一定整除它自身；任一个多项式f（x）都整除 零多项式；零次多项式，能整除任一个多项式 4整除的性质 （1）若f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），则f（x）cg（x），其中c 为非零常数； （2）整除的传递性：若f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），则f（x）丨 h（x）； （3）若f（x）

8、丨gi（x），i1，2，r，则f（x）丨（u1（x） gl（x）u2（x）g2（x）ur（x）gr（x），其中ui（x）是常数 域P上任意的多项式 （4）整除不变性：两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变 四、最大公因式 1公因式和最大公因式 （1）公因式 若多项式既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，则称为f（x） 与g（x）的一个公因式 （2）最大公因式 设f（x），g（x）是Px中两个多项式，Px中多项式d（x）称为 f（x），g（x）的一个最大公因式，若它满足下面两个条件 d（x）是f（x），g（x）的公因式； f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式 若等式f（x）q（x）g

9、（x）r（x）成立，则f（x），g（x）和 g（x），r（x）有相同的公因式 2最大公因式的存在性与求法 （1）定理 00:00 / 00:00 对于Px中任意两个多项式f（x），g（x），在Px中存在一个最大公 因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一个组合，即有Px 中多项式u（x），（x）使 d（x）u（x）f（x）（x）g（x） （2）求法 可用辗转相除法来求最大公因式 注：两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯 一确定的 3互素 （1）定义 Px中两个多项式f（x），g（x）称为互素（也称互质）的，若 （f（x），g（x）1 （2）互素的判定与性质

10、Px中两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是有Px中的 多项式u（x），v（x）使u（x）f（x）（x）g（x）1 若（f（x），g（x）1，且f（x）丨g（x）h（x），则f（x）丨 h（x） 如果f1（x）丨g（x），f2（x）丨g（x），且（f1（x），f2（x） 1，则f1（x）f2（x）丨g（x） 五、因式分解定理 1不可约多项式 （1）定义 数域P上次数l的多项式p（x）称为域P上的不可约多项式，如果它不能 表成数域P上的两个次数比p（x）的次数低的多项式的乘积 注：一次多项式总是不可约多项式 （2）重要性质 如果p（x）是不可约多项式，对于任意的两个多项式f（x）， g

11、（x），若p（x）丨f（x）g（x），则p（x）丨f（x）或者p（x）丨 g（x） 如果不可约多项式p（x）整除一些多项式f1（x），f2（x）， fs（x）的乘积f1（x），f2（x），fs（x），则p（x）一定整除这些 多项式之中的一个 2因式分解及唯一性定理 （1）唯一性定理 00:00 / 00:00 数域P上每一个次数1的多项式f（x）都可以唯一地分解成数域P上一些 不可约多项式的乘积唯一性表示，如果有两个分解式f（x） p1（x）p2（x）ps（x）q1（x）q2（x）qs（x），则必有st，并 且适当排列因式的次序后有pi（x）ciqi（x），i1，2，s，其中 c（i1，2，s

12、）是一些非零常数 （2）标准分解式 f（x）总可分解为 其中c是f（x）的首项系数，p1（x），p2（x），ps（x）是不同的 首项系数为1的不可约多项式，而r1，r2，rs是正整数，这种分解式 称为标准分解式 六、重因式 1重因式 不可约多项式p（x）称为f（x）的k重因式如果，而 00:00 / 00:00 如果k0，则p（x）根本不是f（x）的因式；如果k1，则p（x）称为 f（x）的单因式；如果k1，则p（x）称为f（x）的重因式 2重因式的判别 （1）如果不可约多项式p（x）是f（x）的k重因式（k1），则它是微 商的k1重因式 （2）不可约多项式p（x）是f（x）的重因式的充分必要

13、条件为p（x） 是f（x）与的公因式 （3）多项式f（x）没有重因式的充分必要条件是f（x）与互素 1.2配套考研真题解析 一、填空题 1多项式f（x）除以axb（a0）所得余式为_中国人民大学研 【答案】 【解析】设，将代入上式，得由商式和 余式的唯一性即得 2设，是方程x3pxq0三个根，则行列式湖 北大学2001研 【答案】0 【解析】原行列式其中， 二、证明题 1设2，是关于次数小于或等于n2的多项 式，为任意数，证明：行列式 并举例说明条件“次数n2”是不可缺少的西北大学2010研 证：令 下证多项式F（x）0不然，则，但是， 即F（x）有n1个根，矛盾，故F（x）0，则 反例：n2

14、时，则 2设是整系数多项式，证明：若acbc为奇数，则 f（x）在有理数域上不可约华东师范大学研 证：设f（x）能分解成两个次数均小于3的多项式之积，因，且 f（x）Zx，则存在整数p，m，n，使 从而有 apm，bpmn，cpn 又因c（ab）为奇数，所以c与ab均为奇数，这样由可知必有p为 奇数，a与b中有一个奇数，一个偶数 所以p3ap2bpc为奇数，与p3ap2bpc0矛盾 三、计算题 1，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根清 华大学研 解：，且，则 （1）当时，有 所以x2是的三重因式，即，这时的三个根为2， 2，2 （2）若p4，则继续辗转相除，即 当时，有 即x1是的二重因

15、式，再用除得商式x8故 这时的三个根为1，1，8 2试就实数域和复数域两种情况，求f（x）xnxn1x1的标 准分解式北京大学研 解：令，则 （1-1） 其中 （1）由式（1-1）知f（x）在复数域中的标准分解式为 （2）在实数域中，因，则： 当n为偶数时其标准分解式为 当n为奇数时其标准分解式为 第2章行列式视频讲解 2.1本章要点详解 本章要点 排列 行项式性质与计算 行列式按一行（列）展开 克拉默法则 重难点导学 一、引言 对于二元线性方程组 00:00 / 00:00 当a11a22a12a210时，此方程组有唯一解即 ， 称a11a22a12a21为二级行列式，用符号表示为 于是上述

16、解可以用二级行列式叙述为 当二级行列式 时，该方程组有唯一解，即 二、排列 1定义 由1，2，n组成的一个有序数组称为一个n级排列 2逆序数 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大 于后面的数，则称它们为一个逆序一个排列中逆序的总数称为这个排 列的逆序数 3奇排列与偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列 注：在全部n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n!/2个 三、n级行列式 00:00 / 00:00 1行列式定义 n级行列式 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，即可 写成 主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式 四、n级行列式的性质 00:00 / 00:00 1性质1 行列互换，行列式不变 2性质2 如果行列式中一行为零，则行列式为零 3性质3 00:00 / 00:00 如果某一行是两组数的和，则这个行列式就等于两个行列式的和，而这 两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样 4性质4 如果行列式中有两行相同，则行列式为零 5性质5 如果行列式中两行成比例，则行列式为零 6性质6 把一行的倍数