39 第四章 晶体的宏观对称 在第二章中已经介绍，晶体的生长过程，实质上就是质点按 照 空间格子规律有规则地进行堆积的过程；所以，只要生长时有足够的自由空间，晶体就必然会长成一定形状的几何多面体例如石盐常成立方体，而 α-石英经常长成带有尖顶的六方柱体，等等 在具有几何多面体外形的晶体 —— 结晶多面体上，最突出的一个性质就是它的对称性晶体外形上的对称性 是由其 内部格子构造的对称性所决定的所以，一切晶体都是对称的不过，不同晶体之间的对称性往 往 又是 有 差别的，这表现在它们的对称要素可以有所不同，并且 因此 构成不同的对称型所以， 有必要同时也有可能，根据晶体的对称特点 来对晶体进行分类，即划分出不同的晶族和晶系 由于晶体的对称性从本质上来讲取决于其内部的格子构造，因此，晶体的对称性不仅包含几何意义上的对称，而且也包含物理意义上的对称，亦即晶体中凡是具有方 向 性的物理性质，例如折射率、电导率、弹性模量、硬度等等，它们也都呈现相应的对称关系这是因为，晶体的各项物理性质都是取决于其组成质点的种类和它们的排列方式的所以，晶体的对称性决定并影响着晶体中涉及到几何及物理两方面的一切性质。
反过来 ， 根据晶体的几何外形以及它 们的一系列物理性质，又可以用来正确地确定晶体的对称性所以晶体的对称性对于我们认识晶质矿物的一系列特性 都具有重要的意义另一方面， 晶体的对称性对于晶体的利用还具有指导意义 在本章中我们将依次阐述以上的有关内容，但限于讨论晶体外形上的对 称 ，即晶体的宏观对称 第一节 对称的概念 和晶体对称的特点 一、 对称的 概念 图形相同部分有规律的重复，称为对称具有对称特征的图形，称为对称图形 对称是自然科学中最普遍的一种基本概念自然界许多东西都具有对称特点，如植物枝叶的对生与互生，花瓣、动物形体及器官的对称生长 、晶体界限要素的对称分布等；建筑物、交通工具、生活用品等，常具有对称的外形；在装饰、装潢设计、纺织品中也常可见到对称图案所有对称物体和对称图案统称为对称图形 40 对称的条件有两个，第一，对称图形必须具有 两个或两个以上的相同部分第二，这些相同部分能够通过一定的对称操 作发生重复例如蝴蝶，它由两个相同部份组成，并且相对于身体正中的平面对称分布，两部分可以借助该平面的反映发生重复；再如花朵，是由六个相同的花瓣组成，它们 围 绕一根与花茎重合的直线对称分布，彼此可以借助 于 绕此直线的旋转发生重复。
晶体具有对称性，晶体的 对称 在宏观上 表现为相同晶面、晶棱有规律的重复 二．晶体对称的特点 ⒈ 所有的晶体都是对称的因为晶体具有格子构造，而格子构造就是相同部分有规律的重复所以从这个意义上讲，所有的晶体都是对称的 ⒉ 晶体的对称是有限的晶体的对称受格子构造规律的控制，即遵守对称定律只有符合格子构造规律的对称才会在实际晶体中出现 ⒊ 晶体的对称不仅表现在外形上， 内部结构和 物理性质也是对称的 第二节 晶体的宏观 对称要素 一、对称操作 和对称要素的概念 为使图形中相同部分发生重复所进行的操作称对称操作例如，要使蝴蝶的两个相 同部分发生重复，要借助于一个平面的反映；要使花瓣发生重复，必须使花朵绕一根直线旋转这种旋转、反映就是对称操作 我们还可以看到，在进行任何一种对称操作 时，都必须以一定的几何要素为准绳蝴蝶左右两部分之间的反映重复是相对位于 形体正中 的一个平面进行的；花瓣的旋转重复则是围绕着与花柄重合的直线进行的这样一些 在 进行对称 操作 时所凭借的几何要素 — 平面、直线、点等 ， 称为对称要素一定的对称要素均有一定的对称 操作 与之相对应对称要素能够明确地表征出物体的对称特点。
必须注意 有的对称操作 可以用相应的实际动作来具体进行例 如旋转，就可以使物体绕某一直线为轴具体进行转动；但有的对称 操作 ，例如反映，以及还有所谓的倒反，却是无法用某种实际的动作来具体进行的，而只能设想按相应的对称 操作关系来变换物体中每一个点的位置 二、晶体的宏观对称要素 晶体外形上可能出现 的对称要素 ，即晶体的宏观对称要素，包括 以下几种 ： ⒈ 对称面（ P） 对称面 是通过晶体中心的一个假想平面，它将图形分为互成镜 像 反映 的两个相等部分相应的对称操作是对此平面的反映 如图 4-1， a 图的 P1 和 P2 是对称面； b 图的 AD 不是对称面，尽管 AD 将图形分为两个相等部分，但这两部 分不互成镜像， AED 成镜 像 反映的是 AE1D 晶体中对称面可能出现的位置有 （图 4-2a） ： ⑴ 垂直并平分晶面； 41 ⑵ 垂直晶棱并通过它的中点； ⑶ 包含晶棱 对称面用 P 表示晶体中可以没有对称面，也可以有一个或多个，但最多不超过 9 个描述时将对称面数目写在 P 前面立方体中有 9 个对称面（其中直立的四个，倾斜的四个，水平的 一个，倾斜对称面与直立和水平对称面皆以 45°相交），就写成 9P。
对称面是通过晶体中心的平面，其球面投影为一大圆在极射赤平投影中，水平对称面的投影为基圆；直立对 称面的投影为基圆直径 ；倾斜对称面的投影为 以 基圆直径为弦的大圆弧 (图 4-2b) a b 图 4-1 P1 和 P2 为对称面（ a）； 图 4-2 立方体的九个对称面 9P（ a） AD 非对称面（ b） 及极射赤平投影（ b） ⒉ 对称轴 (Ln) 对称轴 是通过晶体中心的一根假想直线 ， 当图形绕此直线旋转一定角度以后，可使相同部分 重复 相应的对称操作是绕此直线的旋转 先看一下立方体的对称轴，立方体 围 绕 通过 相对 两个 晶 面中心的直线旋转 90°、180°、 270°、 360°可使相同部分重复（图 4-3）；绕相对 两个 的角顶旋转 120°、 240°、360°可使相同部分重复；绕 通过 相对 两个 晶 棱中点的连线旋转 180°、 360°也能使相同部分重复 a b 图 4-3 立方体的 3L44L36L29PC 及其 赤 平投影 42 这说明在同一晶体上会有不同的对称轴，为了对对称轴进行分类，现引入轴次和基转角的概念： 图形旋转一周相同部分重复的次数称轴次（ n），重复时所旋转的最小角度称基转角（ ），轴次与基转角的关系为： n=360/。
对称轴用 Ln 表示， n 为轴次晶体外形上可能出现的对称轴及相应基转角见表4-1 表 4-1 晶体外形上可能出现的对称轴及相应基转角 名称 符号 基转角 作图符号 一次对称轴 L1 360° 二次对称轴 L2 180° 三次对称轴 L3 120° 四次对称 轴 L4 90° 六次对称轴 L6 60° 由于任何物体绕任一轴线旋转 360°均复原，因此， L1 是随处皆在的 ，这样，一次对称轴也就失去了 实际意义 所以，除了特定的场合以外，在以后的讨论中对 L1都不再涉及 轴次高于 2 的对称轴 L3、 L4、 L6 为高次轴 L2、 L3、 L4、 L6 的 横截面形状及作图符号如图 4-4 所示 L2 L3 L4 L6 图 4-4 晶体中的对称轴 L2、 L3、 L4 和 L6 举例 对称定律：晶体中不可能出现五次及高于六次的对称轴因为它们不符合空间格子规律在空间点阵中如果出现 n 次对称轴，则在垂直 Ln 的平面点阵中便有正 n边形格子的几何图象。
43 各种同样大小的花砖铺地所形成的几何图象，就与平面点阵中划分的格子十分类似正五边形和正 n 边形 （ n＞ 6） 不能铺满平面，因而不能形成相应的平面格子（图 4-5），换言之，点阵中只允许 1、 2、 3、 4、 6 次对称轴 在晶体中，可以没有对称轴，也可以同时出现不同轴次的对称轴，同轴次的对称轴也可以是一个或多个描述 时将其数目写在 Ln 之前，如 3L4、 6L2 等 晶体中对称轴可能出现的位置有 （图 4-3a） ： ⑴ 晶面中心； ⑵ 晶棱中点； ⑶ 角顶 对称轴是通过晶体中心的直线，其球面投影为两个 点在极射赤平投影图上，与投影平面垂直的直立对称轴， 投影点落在基圆中心； 与投影平面平行的水平对称轴， 投影点落在基圆上； 与投影平面斜交的 倾斜对称轴 ， 投影点落在基圆内（图 4-3b） a b c d e f g 图 4-5 垂直对称轴所形成的多边形网孔 a、 b、 c、 d、 e、 f、 g 分别表示垂直 L2、 L3、 L4、 L5、 L6、 L7、 L8、 的多边形网孔，五、七、八边形网孔不能无间隙地排列 ⒊ 对称中心（ C） 对称中心 是 位于晶体中心的 一个假 想的点， 如果过 对称中心 作任意直线，则在此直线上距对称中心等距离的两端，必可找到对应点。
相应的对称操作是对此点的反伸 对称中心用 C 表示它的作用相当于一 个照相机镜头由对称中心联系起来的两个部分，分别相当与物体和像，两者互为上下、左右、前后均颠倒相反的关系所不同的是，相当于物体和像的两部份的大小相等，且距对称中心的距离也相等 图 4-6 是一个具有对称中心的图形，点 C 为对称中心，在通过 C 点所做的直线上，距 C 点等距离的两端均可以找到对应点，如 A 和 A1， B 和 B1也可以这样认 44 为，取图形上任意一点 B，与对称中心 C 连线，再由对称中心 C 向相反方向延伸等距离，必然找到对应点 B1 一个具有对称中心的图形，其中心相对的两侧 的晶面和晶棱都表现为反向平行，如图 4-7， C 为对 称中心， △ ABD 与 △ A1B1D1 为反向平行晶体中若存在对称中心，其晶面必是两两 反向 平行且相等的；反过来说，若晶体上晶面两两 反向 平行且相等，则晶体必然存在对称中心 a b 图 4-6 具有对称中心（ C）的图形 图 4-7 由对称中心联系起来的两个 反向平行的 A 与 A1、 B 与 B1 为对应点 三角形（ a）和平行四边形（ b） ⒋ 旋转反伸轴（ Lin） 旋转反伸轴是 通过晶体 中心的一根 假想的直线， 图形绕此直线旋转一定角度后，再对此直线上的一个点进行反伸，可使相同部分重复。
相应的对称操作为绕此直线的旋转和对此直线上一点反伸的复合操作在这里，旋转和反伸是对称变换的两个不可分割的动作，无论是先旋转后反伸，还是先反伸后旋转，效果是相同的但必须是两个动作连续完成以后才能使晶体还原 旋转反伸轴用 Lin 表示， i 意为反伸， n 为轴次 n 可为 1、 2、 3、 4、 6； α 为基转角， n=360°/α同理，晶体中不可能出现五次及高于六次的旋转反伸轴 Li1： 相应的对称操作是旋转 360°加 反伸因为图 形旋转 360°等于没有旋转，所以对称变换相当于没有旋转而单纯反伸，与对称中心的单独作用等效如图 4-8(a)，点 1 反伸与点 2 重合，所以 Li1 = C，即 Li1 与 C 等效 Li2： 相应的对。