全称量词与存在量词一、全称量词与全称命题全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“”表示，读作“对任意”.全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.一般形式：“对中任意一个，有成立”，记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.PS：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“ ”表示，读作“存在 ”.特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.一般形式：“存在中一个元素，有成立”，记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在使.（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、 含有量词的命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题：，的否定：，；从一般形式来看，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意”的否定为“，”.对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题：，的否定：，；从一般形式来看，特称命题“，”，它的否定并不是简单地对结论部分进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“，”的否定为“，”.PS：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2)命题的否定与命题的否命题是不同的. （3）正面词：等于、大于、小于、是、都是、至少一个、至多一个、小于等于；否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于等于.要点四、全称命题和特称命题的真假判断①要判定全称命题“，”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明成立；要判定全称命题“，”是假命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得不成立，即举一反例即可.②要判定特称命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得成立即可；要判定特称命题“，”是假命题，必须证明在集合M中，使 成立得元素不存在.例1：判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）xR，x2+1≥1；（2）所有素数都是奇数；（3）有些整数只有两个正因数. 【解析】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；（3）有存在量词“有些”；是特称命题。
例2：写出下列命题的否定并判断真假（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p：每一个非负数的平方都是正数；（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于；【解析】（1）存在未位数字是0或5的整数但它不能被5整除，假命题；（2）存在一个非负数的平方它不是正数，真命题；（3）任何一个三角形它的内角和都不大于180°，真命题；例3：已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【解析】，q:x2-2x+1-m2≤0Þ[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0，又∵m>0，∴不等式的解为1-m≤x≤1+m，∵是的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q的充分不必要条件”，∴不等式的解集是x2-2x+1-m2≤0(m>0)的解集的子集，，∴实数m的取值范围是.巩固练习一、单选题1．下列语句不是全称量词命题的是（ ）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小【答案】C【解析】由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的…等表示全部元素都满足的语句，如果含有存在、有一个…等表示非全部元素都满足的语句的命题为特称命题，由此对四个答案进行分析，即可得到答案．【详解】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选：C.【点睛】本题考查的知识点是全称命题和特称命题的定义，熟练掌握全称命题和特称命题的定义是解答本题的关键．2．设m∈R，命题“存在m>0，使方程x2+x−m=0有实根”的否定是（ ）A．对∀m>0，方程x2+x−m=0无实根 B．对∀m>0，方程x2+x−m=0有实根C．对∀m<0，方程x2+x−m=0无实根 D．对∀m<0，方程x2+x−m=0有实根【答案】A【解析】【分析】只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.【详解】由特称命题的否定是全称命题，知“存在m>0，使方程x2+x−m=0有实根”的否定是对∀m>0，方程x2+x−m=0无实根故选：A3．设命题p:∃x∈Z,x2≥2x+1，则p的否定为（ ）A．∀x∉Z,x2<2x+1 B．∀x∈Z,x2<2x+1C．∃x∉Z,x2<2x+1 D．∃x∈Z,x2<2x【答案】B【解析】【分析】由特称命题的否定可直接得到结果.【详解】命题p:∃x∈Z,x2≥2x+1，则p的否定为：∀x∈Z,x2<2x+1.故选：B【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．4．下列结论中，错误的是（ ）A．“x=1”是“x2−x=0”的充分不必要条件B．已知命题p:∀x∈R,x2+1>0，则¬p:∃x∈R,x2+1⩽0C．若复合命题p∧q是假命题，则p,q都是假命题D．命题“若x2−x=0，则x=1”的逆否命题“若x≠1，则x2−x≠0"【答案】C【解析】对A，可利用子集法确定；对B,D直接利用定义；对C，根据复合命题的真假判断；【详解】对A，∵ x2−x=0⇔x=0或x=1，所以“x=1”⇒“x2−x=0”，反之不成立，故A正确；对B，D都是可以直接判断为正确的.对C，复合命题p∧q假，只需p,q至少有一假就可以了，所以C错误.故选：C.二、多选题5．已知下列说法：①命题“∃x∈R，x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，x2+1<3x”；②命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”；③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；④命题：对任意x∈R，总有x2>0.其中说法错误的是（ ）A．① B．② C．③ D．④【答案】ACD【解析】【分析】①根据特称命题的否定是全称命题即可判断；②根据全称命题的否定是特称命题即可判断；③根据必要条件和充分条件的概念即可判断；④判断命题的真假.【详解】对于①，命题“∃x∈R，x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故错误；对于②，命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”，正确；对于③，“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故错误；对于④，当x=0时x2=0，故错误.故选：ACD.6．下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有A．∃x∈R,x2−x+14<0.B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R,x2+2x+2⩽0D．至少有一个实数x，使x3+1=0【答案】AC【解析】【分析】通过原命题的否定为全称量词命题且为真命题，确定原命题是特称量词命题且为假命题，根据此结论逐项分析.【详解】由条件可知：原命题为特称量词命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2−x+14=x−122≥0，x2+2x+2=x+12+1>0，所以AC均为假命题，故选AC.【点睛】（1）含一个量词的命题的否定方法：改变量词，否定结论；（2）常见的：含有全部、都、所有等词时，对应的是全称命题；含有存在、有一个等词对应的是特称命题.7．下列说法中正确的个数是（ ）A．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；B．命题“∀x∈R,x2+2<0”是全称量词命题；C．命题“∃x∈R，x2+4x+4≤0”是存在量词命题．D．命题“不论m取何实数，方程x2+x−m=0必有实数根”是真命题；【答案】BC【解析】【分析】根据存在量词命题和全称量词命题的定义判断ABC，根据判别式判断D.【详解】A中命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故A错误；B中命题“∀x∈R,x2+2<0 ”是全称量词命题,故B正确；C中命题“∃x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量词命题,故C正确；D中选项中当Δ=1+4m<0时，即当m<−14时，方程x2+x−m=0没有实数根,因此，此命题为假命题.故选：BC8．使“a0，a⩽b+x B．∃x⩾0，a+x0，a+x⩽b【答案】BCD【解析】根据不等式的关系结合必要不充分条件分别进行判断即可．【详解】解：若a0，则a+x0，有a+x⩽b成立，反之不一定成立；故D满足条件．故选：BCD．【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题．三、填空题9．命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是__________．【答案】存在一个无理数，它的平方不是有理数【解析】【分析】根据全称命题的否定形式，即可求解结论.【详解】存在一个无理。