使用“基本不等式”解题时易错点分析 摘 要：作者结合多年的教学实践，在阐述基本不等式内容的基础上，阐述了基本不等式解题的易错点，然后典型例题分析了基本不等式的正确解法，以期为学生提供些许指导关键词：基本不等式；易错点；解题方法基本不等式是高中数学的重要内容，许多函数最值、较为复杂的不等式、数列极限等问题都能找到基本不等式的影子，并通过使用基本不等式的性质来得到解答基本不等式内容简单，但变式多样，而且在满足特定限制条件，即“一正，二定，三相等”时才能够使用，许多学生由于对基本不等式的使用条件理解不透彻，导致做题过程中出现错误一、 基本不等式的内容（一） 基本不等式：a+b2≥ab成立条件：a>0，b>0，当且仅当a=b时取等号二） 利用基本不等式求最值问题：已知x>0，y>0，则1. 如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是2p简记：积定和最小）2. 如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值是p24简记：和定积最大）这三个条件简称为“一正，二定，三相等”二、 典型例题剖析（一） 忽视“一正”条件例1 求函数f（x）=x+3x的最值错解：此式x与3x的积为定值3，因此根据积定和最小可知，f（x）=x+3x≥2x3x=23，所以函数的最大值为23。
错因：忽视了使用基本不等式时“一正a>0，b>0”的条件正解：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），当x>0时，根据基本不等式可得：f（x）=x+3x≥2x3x=23，当且仅当x=3x，即x=3时，取等号；当x<0时，-x>0，所以f（x）=x+3x=--x+（-3x）≤-2-x-3x=-23，只有当-x=-3x时，也即x=-3才能相等所以函数的最大值是23，最小值是-23现场纠错：1函数y=8-x2-2x（x>0）的最大值是 二） 忽视“二定”条件例2 若正数x，y满足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是（ ）A. 245 B. 285C. 5 D. 6错解：由基本不等式：x+3y≥2x3y=23xy，所以5xy≥23xy，解得xy≥1225，则3x+4y≥23x4y≥2121225=245所以选A出错原因：只有满足x和y为固定值的时候才能运用基本不等式，解题者忽视了这一条件，因此导致解题出错正解：因为x>0，y>0，由x+3y=5xy，得151y+3x=1所以3x+4y=15（3x+4y）1y+3x=135+153xy+12yx≥135+1523xy12yx=5只有当x=2y时取等号，所以3x+4y的最小值是5。
选C现场纠错：2已知a>0，b>0，且a+b=1，求1a+2b的最小值三） 忽视“三相等”条件例3 已知函数f（x）=x2-2x+ax，x∈（0，2]，其中常数a>0求函数f（x）的最小值错解：f（x）=x2-2x+ax=x+ax-2≥2a-2，当且仅当x=ax，即x=a时取等号所以函数f（x）的最小值为2a-2错因：没有考虑x=a是否能够成立分析，因x∈（0，2]，所以只有当0f（x）=x2-2x+ax=x+ax-2≥2a-2，当且仅当x=ax，即x=a时取等号当0当a≥2，即a≥4时，f（x）在（0，2]上单调递减，所以当x=2时，f（x）取得最小值为a2综上所述：当0现场纠错：3若函数f（x）=x+1x-2（x>2）在x=a处取得最小值，则a= 三、 结束语上述情况为基本不等式常见的错误，错解的原因往往是考虑情况不到位，忽视常数的取值范围而直接去套用公式因此学生一定要深刻理解“一正，二定，三相等”的本质含义和适用条件，做到解题时游刃有余参考文献：[1]袁红.“基本不等式”教学设计[J].中国数学教育，2015（04）.[2]孙传平.运用基本不等式的三原则七策略[J].数学通讯，2014（11）. -全文完-。