专题4.16—导数大题（数列不等式的证明）1．已知函数，即自然对数的底数）．（1）若函数在是单调减函数，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，当时，证明：．解：（1）函数在是单调减函数，在区间上恒成立．，可得，即实数的取值范围为，；（2）证明：由（1）得当时，在上单调递减，（1），可得，，令，可得分别取，2，3，，得，即可得，对任意的成立．2．（1）若，判断函数在区间内的单调性；（2）证明：对任意，，．解：（1），，，又，，且时，，在区间内单调递增；（2）证明：由（1）知，当时，（1），即，，令，则，，当，令，，，所以在单调递减，，即，，当，且时，，，对任意，，．3．已知函数的图象在处的切线斜率为．（Ⅰ）求证：时，；（Ⅱ）求证：．证明：（Ⅰ）由，得，由题意，，得，故，，令，可得在上单调递增，，即，在上单调递减，则，则时，；（Ⅱ）当，时，，，，则，由（1）知，时，，令，，3，，，，，，，，相加得：．4．已知函数．（1）求函数的极值；（2）（ⅰ）当时，恒成立，求正整数的最大值；（ⅱ）证明：．解：（1），，当时，，函数在上单调递增，没有极值；当时，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，此时函数的极小值，没有极大值；（2）当时，恒成立，即只要即可，由（1）时，在上单调递减，在上单调递增，（a）若即时，在上单调递增，满足题意；（b）当即时，在上单调递减，在上单调递增，，令，则，所以在上单调递减，且（2），（3），（4），所以存在使得，则的解集为，综上的取值范围，其中，所以正整数的最大值3；证明：两边取对数得，即只要证，由知，令，则，，所以．5．已知函数．（1）若存在极值，求的取值范围；（2）证明：，，．解：（1），时，，函数在上单调递减，不存在极值，舍去．时，令，解得，又函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，在，上单调递增，函数在处取得极小值．故的取值范围是．（2）证明：由（1）可知：时，函数在处取得极小值，因此，当且仅当时取等号，即，．取，则，即成立，（其中，，，，，2，，，对不等式两边求和可得：，即成立，即成立，，，．6．设函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，若的最小值为0，证明：．（1）解：函数的定义域为，，①当时，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增；②当时，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增；故当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）证明：由（1）知，的最小值为（a），解得，于是当且时，（1），下面用数学归纳法证明，①当时，，不等式成立；②假设时，不等式成立，即，当时，，不等式成立．由①②得．7．设函数，是函数的导函数．（1）讨论的单调性；（2）若（1）（1），证明：．解：（1）的定义域是，，，时，，单调递减，时，，单调递增，即在单调递减，在单调递增；（2）证明：由（1）可知（1），（1），，解得：或（舍，，由（1）知：函数在上单调递减，在上单调递增，（1），即即对任意恒成立，当且仅当时“”成立，令，，则，整理得：，，即原不等式成立．8．已知函数．（1）求的最小值；（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．解：（1），当时，，故在单调递减，当时，，在单调递增，故（1），故的最小值为1；（2）由（1）可得，即，所以，，，则，故，所以，又因为，故对任意正整数，的整数的最小值为2．。
