控制工程基础（第五章）清华大学第五章 控制系统的稳定性分析5.1 系统稳定性的基本概念5.2 系统稳定的充要条件5.3 代数稳定性判据（ Routh判据、Hurwitz判据）5.4 乃奎斯特稳定性判据（ Nyquist判据）5.5 应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性5.6 由伯德图判断系统的稳定性5.7 控制系统的相对稳定性5.8 李雅普诺夫稳定性方法 见光盘课件（第五章第一节） 系统稳定的充要条件对于 上图所示控制系统，有 撤除扰动，即按照稳定性定义，如果系统稳定，当时间趋近于无穷大时，该齐次方程的解趋近于零，即当 时，上式成立，以上条件形成系统稳定的充分必要条件之一 对应闭环系统特征根的实部，因此对于定常线性系统，若系统所有特征根的实部均为负值，则零输入响应最终将衰减到零，这样的系统就是稳定的反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部时，则零输入响应将随时间的推移而发散，这样的系统就是不稳定的 由此，可得出控制系统稳定的另一充分必要条件是：系统特征方程式的根全部具有负实部系统特征方程式的根就是闭环极点，所以控制系统稳定的充分必要条件也可说成是闭环传递函数的极点全部具有负实部，或说闭环传递函数的极点全部在 [s]平面的左半面。
劳斯稳定性判据这一判据是基于方程式的根与系数的关系而建立的设系统特征方程为式中， 为系统的特征根 由根与系数的关系可求得 从上式可知，要使全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件 1）特征方程的各项系数 (i=0， 1， 2， … ， n)都不等于零因为若有一个系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足上式；此时系统为临界稳定（根在虚轴上）或不稳定（根的实部为正） 2）特征方程的各项系数的符号都相同，才能满足上式，按照惯例， 一般取正值，上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即 ＞ 0但这只是一个必要条件 , 既使上述条件已满足，系统仍可能不稳定，因为它不是充分条件 同时，如果劳斯阵列中第一列所有项均为正号，则系统一定稳定劳斯阵列为 其中系数根据下列公式计算：系数的计算，一直进行到其余的值都等于零时为止，用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算 c， d, e等各行的系数， 这种过程一直进行到第 n行被算完为止系数的完整阵列呈现为三角形在展开的阵列中，为了简化其后的数值计算，可用一个正整数去除或乘某一整个行。
这时，并不改变稳定性结论劳斯判据还说明：实部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数例 : 设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性 解： 首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件其次，排劳斯阵列由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正值，所以控制系统稳定 例 2 设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件其次，排劳斯阵列第一列中系数改变符号两次，说明闭环系统有两个正实部的根，控制系统不稳定 对于特征方程阶次低（ n≤3 ） 的系统，劳斯判据可化为如下简单形式，以便于应用二阶系统特征式为 ，劳斯表为故二阶系统稳定的充要条件是三阶系统特征式为 ，劳斯表为故三阶系统稳定的充要条件是 例 设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的 K值范围解：系统闭环传递函数为 特征方程为根据三阶系统稳定的充要条件，可知使系统稳定须满足故使系统稳定的 K值范围为00,b>0)S3=-a-jb 对于矢量（ S-S2） 和（ S-S3） , 当 S：0→jω 变化时 设 Sm为正实根，对于矢量（ S-Sm） , 当 S： 0→jω 变化时图 5-6 正实根情况 设 Sm+1、 Sm+2为具有正实部的共轭复根，Sm+1=c+jd (c>0,d>0)Sm+2=c-jd 对于矢量（ S- Sm+1） 和（ S- Sm+2） , 当 S： 0→jω 变化时因此， p个左根的总角变化量为 p(-π/2) 。
另外，原点根不引起角变化量综上，推论：如果 n次多项式 D(s） 的所有零点都位于复平面的左半面，则当以 s=jω 代入 D（ s） 并命 ω 从 0连续增大到 ∞ 时，复数 D（ s） 的角连续增大 乃奎斯特稳定性判据设反馈控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为 , 则其开环传递函数为 分子为系统闭环特征多项式，而分母为系统开环特征多项式由于系统开环传递函数分母阶次大于等于分子阶次，故分子分母阶次相同，均为 n阶 （ 1）如果开环极点均在 s左半平面，则根据米哈伊洛夫定理推论，这时如果闭环系统是稳定的，即的所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，则 （ 2）如果开环特征多项式有 P个根在 s右半平面， q个零点在原点，其余（ n-p-q） 个根在 s左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论，这时如果闭环系统是稳定的，即 的所有零点也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论， 则 或开环乃氏图相对（ -1， j0） 点的角变化量为 ，系统闭环后就是稳定的也就是说，对于一个稳定的闭环系统而言，当 ω 从 0连续增大到 ∞ 时，开环传递函数在右半平面的每一个极点使角增量为 180° ；开环传递函数在原点处的每一个极点使角增量为90° 。
这样，闭环系统是否稳定，可以从开环频率特性的角增量来判断设开环特征多项式在右半平面有 p个零点，原点处有 q个零点，其余（ n-p-q） 个零点在左半平面，则乃奎斯特稳定判据可表述为：对于系统开环乃氏图，当 ω 从 0到 ∞ 变化时，其相对（ -1， j0） 点的角变化量为时，系统闭环后稳定 例 : 某反馈控制系统如图 5-10所示试问 k为何值时，系统稳定解： 系统开环传递函数 故 p=1,q=0当 K>1时，频率特性为直径大于 1的半圆，其频率特性如上图所示，可见此时系统稳定当 00） 的充要条件为 P的所有主子行列式为正如果 P的所有主子行列式为非负，为正半定（记作 V(x)≥0 ）； 如果 -V(x)为正定 ,则 V(x)为负定（记作 V(x)<0）； 如果 -V(x)为正半定 ,则 V(x)为负半定（记作 V(x)≤0 ） 例：例：(0,0）是唯一的平衡状态设正定的标量函数为故系统在坐标原点处为大范围渐近稳定 第五章作业 （ p191~194)5-4， 5-5， 5-6（ 1）（ 2），5-9， 5-21，选作： 5-11 。