中考常考最短距离模型在学习几何知识时，同学们已经学过如下两个结论：（1） 连结两点的所冇线中，直线段是最短的；（2） 直线外的一个定点与直线上的各点的连线以垂线为最短.利用这两个结论口J以解决许多实际生活中求最短路线的问题.一、根据“两点之间线段最短”题型一、两点在一线两旁例1甲、乙两村之间隔一条河，如图13—1.现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间 的行程最短，桥应修在何处？分析：设甲、乙两村分别用点A、B表示.要在河上架桥，关键是要选取一个最佳建桥的 位置，使得从甲村出发经过桥到乙村的路程最短.即从甲村到甲村河边的桥头的距离加上 桥长（相当于河的宽度），再加上乙村到乙村河边的桥头的距离尽可能短，这是一个求最 短折线的问题•直接找出这条折线很困难，能否可以把它转化为直线问题呢？由于河的宽 度不变，不论桥修在哪里，桥都是必经之路，11桥长相当于河宽，是一个定值，所以可以 预先把这段距离扌II除，只要使两镇到河边桥头的距离最短就可以了所谓预先将桥长扌II除，就是假设先走完桥长，即先把桥平移到甲村，先过了桥，到C 点，如图13-2,找出C到B的最短路线，实际上求最短折线问题转化为直线问题. 解：如图13—2.过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长等于河宽.连BC交与乙 村的河岸于F点,作EF垂直于河的另一岸于E点，则EF为架桥的位置，也就是AE+EF+FB 是两村的最短路线.（证明就是，取E外任一点，都会根据平行四边形对边相等后，大于BC的长）当然，如下图，也可以用平移0B到PB1,连接AB1与岸边的交点即是桥头一端。
另问：（1）作封闭街道中线（即过街道的中点，平行于街道的直线）（2） 作B关于d的对称点（3） 连结AN,作线段AN的垂直平分线刃；（4） 设夕交街道靠近A点的一侧于P点；（5） 过点P作垂直于街道的天桥PQ.PQ即为所求（如图9）.这是到桥的距离相等题型二、两点在一线同旁例2如图13-3, A、B两个学校都在公路的同侧.想在这两校的附近的公路上建一个汽车站，要求车站到两个学校的距离之和最小，应该把车站建在哪里？分析：车站建在哪里，使得A到车站与B到车站的距离之和最小，仍然是求最短折线问题, 同例1 一样关键在于转化成直线问题就好办了.采用轴对称（直线对称）作法.解：作点B关于公路（将公路看作是一条直线）的对称点B',如图13-4,即过B点作 公路（直线）的垂线交直线于0,并延长B0到B',使B0=0B，・连结AB，交直线于 点E,连BE,则车站应建在E处，并且折线AEB为最短.为什么这条折线是最短的呢？分两步说明：（1） 因为B与B'关于直线对称，根据对称点的性质知，对称轴上的点到两个对称点的距离相等，有 BE=B‘ E,所以 AB' =AE+EB, =AE+EB（2） 设E'是直线上不同于E的任意一点，如图13—5,连结AE，、E‘ B、E‘ B', 可得AE‘ +E‘ B=AE‘ +E‘ B‘ >ABf （两点之间线段最短）（或者说三角形两边之和大于第三边）上式说明，如果在E点以外的任意一点建车站，所行的路程都大于折线AEB. 所以折线AEB最短若问：A、B两点到公路距离相等的点呢？做AB的垂直平分线，交公路一点，即可求出相等距离的点。
题型三、锐角内一点的最短距离例3如图13—6,河流EF与公路FD所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角EFD内.现 在要在河边建一个码头，在公路边修建一个仓库，工人们从公司岀发，先到河边的码头卸 货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问仓库、码头各应建在何处， 使工人们所行的路程最短.分析：工人们从A岀发先到河边码头，再到公路的仓库，然后 回到A处，恰好走一个三角形，现在要求三角形的另外两个顶点分别建在河岸与公路的什 么位置能使这个三角形的三边之和为最小，利用轴对称原理作图.解：过A分别作河岸、公路的对称点A'、A〃 ,如图13—7,连结A' A",交河岸于M, 交公路于N,则三角形AMN各边之和等于直线A' A"的长度，所以仓库建在N处，码头 建在M处，使工人们所行的路程最短.类似的题：1、 在一块三角形区域ABC中，一只蚂蚁P停留在AB边上，它现在从P点出发，先爬到BC边 上的点M再从点M爬到AC边上的点N然后再回到P点,请在图上作出M N点，使得蚂蚁爬 行的路程最短.分析:作点P关于BQ AC的对称点P1、P2,连结P1P2,分别交BQ AC于点M N再连结PM PN易知PWP1M P2P2N所以蚂蚁爬行的路程二PMPZM^PIMP22M^P1 P2,根据两点之间 线段最短，可知△ PW即为所求.2、 在一条大的河流中有一形如三角形的小岛（如图3）,岸与小岛有一桥相连.现准备在 小岛的三边上各设立一个水质取样点.水利部门在岸边设立了一个观测站，每天有专人从 观测站步行去三个取样点取样，然后带回去化验.请问，三个取样点应分别设在什么位置, 才能使得每犬取样所用时间最短（假设速度一定）？分析：此题要求吋间最短，而速度一定，所以可转化为求最短路程.如图4,小桥DE为必 走之路，所以容易得到D为恭边上的取样点.关键是确定另外两边上的取样点，这是线 段Z和最小的问题，我们的想法是将三条线段拼起来，关于线段最短，我们冇“两点Z间, 线段最短”，利用对称便可使问题得到解决.解析：如图4,作点D关于AB的对称点F；点D关于AC的对称点G,连接FG,交AB 于M,交AC于N・：・D、M、N即所求三个取样点.3、 锐角MON内冇两个点A、B, A到0M后再到ON,然后回到B,求走的最短距离。
木题把一个点分成了两个点，则做A的关于0M的对称点A1,做B关于ON的对称点B1,连 接A1B1交OM、ON于P、Q,则为找到的两点距离最短题型四、几何体的展开 长方体类型:例4如图13-8是一个长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米的氏方体纸盒.一只蚂 蚁要从A点出发在纸盒表面上爬到B点运送食物，求蚂蚁行走的最短路程.分析：因为是在t方体的表面爬行，求的是立体图形上的最短路线问题，往往可以转化为 平面上的最短路线问题.将蚂蚁爬行经过的两个面展开在同一平面上，如图13-9,在展 开图中，AB间的最短路线是连结这两点的直线段，但要注意，蚂蚁可沿儿条路线到达B 点，需对它们进行比较.解：蚂蚁从A点出发，到B点，有三条路线可以选择：(1) 从A点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个平面展开在同一 平面上，这时A、B间的最短路线就是连线AB,如图13—9 (1) , AB是直角三角形ABC 的斜边，根据勾股定理,AB2=AC2+BC2= (1+2) 2+42=25(2) 从A点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点，将这两个面展开在同一平面上，如图 13—9 (2),同理 AB2=22+ (1+4) 2=29(3) 从A点出发，经过上底面，然后进入右侧面到达B点，将这两个面展开在同一 平面上，如图 13—9 (3),得 AB2= (2+4) 2+12=37比较这三条路线，25最小，所以蚂蚁按图13-9 (1)爬行的路线最短，最短路程为5分 米上一题的详细介绍：如图一长方体长为3cm,宽为2cm,高为1cnj —只蚂蚁从A点出发沿 长方体表面爬到B点,所需爬行最短路程是多少？设问？蚂蚁从A到B最少要爬经长方体几个表面？请大家设计一下应该怎么爬？ 分析：最少要爬经两个表面到达B点，除去重复情况有以下三类可能最短的爬法：(1) 经过前面和上底面；(注意：跟经过后面和下底面一样)(2) 经过前面和右面；(注意：跟经过左面和后面一样)(3) 经过左面和上底面.(注意：跟经过下底面和右面一样)解：(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，最短路程为AB=Jac2 + BC2 = &+32 =尿(cm)(2) 当蚂蚁经过前面和右面时,最短路程为AB=7AC2 + BC2 = V52+l2 =V26 (cm)(3) 当蚂蚁经过左面和上底面时,最短路程为AB= Jac? +肚2 =佔+ 2?=向(cm)•・• 718 < V20 < V26・•・最短路程为V18即3a/2 eng推广扩展：当长方体长宽高分别为a,b,c(三者大小关系未定)时,三种可能的最短距离分别为：① +@ + c)2 = +，+疋 +2bc② J，+(a + c)2 = yja2 +b2 +c2 +2ac③ +(a + b)2 = J/ +，+(?2 +2ab我们发现三种结果最终表达式的唯一不同点在于根式内的最后一项,即两边乘积的2倍。
当我们把这两边取最短的两边时,得到的距离是最短的以此为依据往回推即可得到此类 问题通用解法：一个长方体从一点到它斜对面顶点的最短距离是：最短距离二J最长边2+(较短两边Z和)2类似的题型如图,长方体的长为15，宽为10 ,高为20 ,点B离点C的距离为5 , 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是( )A. 5a/21 B. 25 C . 10^5+5 D. 35答案：B.主要利用图形的展开、勾股定理其实,本题也是利用了上述的结论,只是把原来大的长方形转变为小的长方形而已圆柱类型： 例5、一圆柱高8cm底面周长12cm-只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是 例6、如图13-10,在圆柱形的木桶外，有一个小甲虫要从桶外的A点爬到桶内的B点.已 知A点到桶口 C点的距离为14厘米，B点到桶口 D点的距离是10厘米，而C、D两点之 间的弧长是7厘米.如果小甲虫爬行的是最短路线，应该怎么走？路程是多少？分析：先设想将木桶的圆柱展开成矩形平而，如图13-11,由于B点在桶内，不便于作图, 利用轴对称原理，作点B关于直线CD的对称点B，,这就可以用B，代替B,从而找出最短 路线.解：如图13-11,将圆柱体侧面展成平面图形.作点B关于直线CD的对称点B，,连结 AB\ AB，是A、B，两点间的最短距离，与桶口边交于O点，贝ij OBJOB, ABJAO+OB, 那么A、BZ间的最短距离就是AO+OB,所以小卬虫在桶外爬到O点后，再向桶内的B 点爬去，这就是小甲虫爬行的最短路线.延长AC到E,使CE = BQ,因为AAEB，是直角三角形，AB，是斜边，EB~CD=7厘米，AE=14+10=24 （厘米），根据勾股定理：ABz2=AE2+EB2=242+72=625 所以 ABr=25 （厘米）即小卬虫爬行的最短路程是25厘米其实这是利用了，“两点在一直线同一旁”的找最短距离原理。
只是多了立体儿何的展开只 是题型五、线上一点到各点的最短距离例5有八栋居民楼A1、A2、…、A8分布在公路的两狈9,如图147,由一些小路与公路相 连，耍在公路上设一个汽车站，使汽车站到各居民楼的距离之和最小，车站应设在哪里？分析：住A1楼的居民总要走到B, A2楼的居民总要走到C, A3、A4楼的居民总要走到 D,……,这些小路总要走，与车站建在哪无关，故问题可以简化成B、C、D、E、F、G 处分别站着1人、1人、2人、1人、2人、1人，这些人用点的个数來表示，如图148, 求一点使所有人走到这一点的距离和最小.当点数为奇数时，应设在中间点上，当点数为 偶数时，应设在中间相邻的两点或这两点之间的任何地方，这样的距离和为最短.BCD E F G@ 14-6解：将图147可以简化成图148,由于点的个数是偶数，即B、C、D、D、E、F、F、G所以 应将车站设在D或E或DE之间的任何一点.二、根据“点到直线距离”问题，即“垂线段最短”题型一、直线1和直线外一点B,直线上有一定点A和一动点P,问点P在何处时，BP+-PA2 最短？解题：以。