考点1 3直角三角形【命题趋势】数学中考中，直角三角形一直是一个较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为：直角三角形的性质定理、判定定理、勾股定理及其逆定理等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向等中考考查重点】一、直角三角形的性质和判定二、勾股定理及其逆定理三、勾股定理与弦图、拼图考向一：直角三角形的性质和判定一.直角三角形的性质后判定性质直角三角形的两个锐角互余直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半在直角三角形中，如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边长的一半判定有一个角是9 0 的三角形时直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形【方法提炼】直角三角形摄影定理图形常见的三个应用方向1.等 积 法（求斜边上的高）2.同角的余角相等（得NA=NBCD）3.射影定理在圆中因为直径所对圆周角=90,转化得此图形,进而利用以上3 个结论！【同步练习】1.直角三角形的斜边长为1 0,则斜边上的中线长为（）A.2 B.3 C.4 D.5【分析】根据直角三住形斜边上的中线等于斜边的一半，这一性质，即可推出斜边上的中线长为5.【解答】解：直角三角形斜边长为10,斜边上的中线长为5.故选：D.2.如图，RtZABC 中，ZC=90,N8=30,N84C 的平分线 A。
交 8c 于点 D C D=加，则BD的 长 是（）C.3 D.3V3【分析】根据三角形的内角和定理得到NC48=6（）,根据角平分线的定义得到NC4N 8 4 Q=/4 4 4=3 0 ,求得N DA B=N B,得到3O=A根据直角三角形的性质即可得到结论.【解答】解：/90,ZB=30,：.Z C AB=60 ,V ZBA C的平分线A D交BC于点D,：,Z C A D=Z B A D=1-/C AB=30,2：ND AB=NB,：,B D=AD,近，；B D=AD=2C D=2 近故选：B.3.将一个含3 0 角的直角三角板人8 C 与一个直尺如图放置，NACB=90点 A 在直尺边M N 上,点 8 在直尺边PQ上，BC交 M N于 点 0.若NABP=15,A C=6,则 AD的 长 为（)C.65D.6正【分析】先由平行线的性质可得N D 48=/A 8P=15,根据三角形内角和定理得到NC48=60,Z C A D=Z C A B-Z D AB=45,那么也人是等腰直角三角形，从而求山4的K.【解答】解：由题意可得，M N H P Q,：.Z D AB=Z AB P=5 ,V Z C A =1 8 0 -N C-N A 8 C=1 8 0 -9 0 -3 0 =6 0 ,N C A O=N C 4 B-N O 4 8=6 0 -1 5 =4 5 ,V Z AC D=90 ,A Z A D C=4 5 ,A C D是等腰直角三角形，：,A D=C=6A/2-故选：C4 .如图，含3 0 角的R t a O C B的斜边在y轴上，。
加，顶 点O与原点重合，则点8【分析】由含3 0 角的直角三角形的性质可得O B=2 B C,即刻求解C B=1,O B=2,再利用），轴上点的坐标的特征可求解B点坐标.【解答】解：在 R t Z 0 5 C 中，N C=9 0 ,N C O 8=3 0 ,：OB=2B C,：C B=1,OB=2,点4在），轴上，8点坐标为（0,2）,故答案为：（0,2）.5 .如图设计一张折叠型方桌子，若A O=8 O=5 0 c/，C O=D O=3 0 c mt将桌子放平后，要使 人8距离地面的高为4 0 c b则两条桌腿需要叉开的N A O 8应为.【分析】作 L A 3 于 E,根据题意，得在 R t A A D E +*,A O=5 0+3 0=8（k w,D E=40cm,由此可以推出N A =3 0，接着可以求出N 8=N A=3 0 ,再根据三角形的内角和即可求出/A O 8的度数.【解答】解：作E_LAB于 AQ=5O+3O=8Oc?，D E=40cm,/.Z4=30，：A O=B O,N8=NA=30,NAO8=180-30-30=120.故答案为：120.6.如图，已 知是线段BC的延长线上一点，Z A C D=Z A C B,/CO D=/B,求证：AOE是直角三角形.【分析】根据平角的概念求出NAC8=90,根据对顶角相等、直角三角形的性质证明结论.【解答】证明：V Z AC D+Z AC B=),Z A C D=Z A C B,，/4CO=NACB=90,V Z A O E=Z C O D,/COO=NB,/.N A O E=N B,N8AC+NB=90,N8AC+NAOE=90,NAEO=90,即AAOE是直角三角形.7.如图，在A8C中，NAB C=60,B C=1 2,人。
是边上的高，E、尸分别为边AB、AC的中点，当 人6时，BC边上存在一点Q,使/E Q尸=90,求此时BQ的长.【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF,再判断出E尸到8 c的距离等于E尸的一半，取E尸的中点O,过点作OQJ_BC与Q,根据等腰直角三角形的性质，点即为所求的点，过 点E作EGJ_BC于G,先求出EG,G Q,再解直角三角形求出BG,然后根据8Q=8G+G计算即可得解.【解答】解：、/分 别为边AB、4 c 的中点,:.E F/B C,E F=1 B C,2：B C=n,:,E F=6,取 收 的中点0,过点O 作 OQ_L8C与 Q,TAD是 BC边上的高，AO=6,，O Q=E G=2X 6=3,2，点即为所求的使//=9 0 的点，V E F/B C,E G/0(),O E=O Q=3,工四边 形 OEQG是正方形，：.G Q=O Q=3,点E 是 AB的中点,，EG是 八 的中位线，EG=X1O=3,2V Z AB C=60 ,:.BG=&EG !区乂 3=孤3 3:B Q=B G+GQ=3+/.过点 E 作EG L BC于G,考向二：勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形勾股数能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数常见的勾股数：3,4,5及其倍数；5,12,13及其倍数；7,24,25及其倍数；8,15,17及其倍数【同步练习】I.已知直角三角形两边的长分别为3 和 4,则此三角形的周长为（）A.5 B.7+V7 C.12 D.12 或 7+被【分析】先设RlZA8C的 第 三 边 长 为-再 分 4 是斜边或x 为斜边两种情况讨论即可.【解答】解：设 RtZXABC的第三边长为工,分两种情况：当 4 为直角三角形的直角边时，工为斜边，由勾股定理得：X=d 2+4 2=5，此时这个三角形的周长=3+4+5=1 2：当4为直角三角形的斜边时，.1为直角边，由勾股定理得：此时这个三角形的周长=3+4+7 7=7+币;综上所述：此三角形佗周长为1 2或7+干，故选：D.2 .下列各组数中能作为直角三角形的三边长是（）A.2,5,6 B.加，2,5 C.7 ,2 4 ,2 5 D.1 3,1 4,1 5【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而可以解答本题.【解答】解：人、22+52 62,不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；8、（V 3）2+22（V 5）2,不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、72+2 42=2 52,能构成直角三角形，故此选项符合题意；D.1 32+1 42 1 52,不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：C.3 .汉代数学家赵爽在注解 周髀算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为5,较短直角边长为3,则图中小正方形（空白区域）的面枳为（）A.I B.4 C.6 D.9【分析】由勾股定理可求解直角三角形的较长的直角边，进而可求得小正方形的边长，即可求解面积.【解答】解：由勾股定理可得：较长的直角边的边长为：-52 _32 =4,空白小正方形的边长为4-3=1,空白小正方形的面积为I.故选：A.4.如 图，在4 X 4的网格中，每个小正方形的边长为1,点A,B,C均在格点上，。
是与网格线的交点，则C O的 长 是（）A.2 B.3 C.立 D.92 4【分析】先证明 A BC是直角三角形，求出其面积，再拆成以为底边的两个三角形,根据面积来求C D.【解答】解：根据题意由勾股定理得：A C=Q2 2 +2=造,AB=y J22+42=5,s c=y J42+22=,：.AB2=A C2+B C2f：.AC 1.B C,.SAABC=ACBC=5，*.*SM B C=S BCD+SM C D,5M BC=-A-X CD x 2+x CD x 2=5 乙 乙解得：立，2故选：C.5.如图，在4 8中，AB=4,A C=3,BC=5.将 A BC沿着点A到 点C的方向平移到O E/的 位置，图中阴影部分面积为4,则平移的距离为（）A.3-V e B.V 6 c.3+V e D.2%【分析】根据勾股定理的逆定理求出 A BC是直角三角形，求出 A BC的面积，根据平移的性质得出4 C=尸=3,/石尸的面积=/4 8的面积=6,再根据面积比等于相似比的平方得出即可.【解答】A？：*：AB=4,A C=3,8 C=5,:.AB2+AC2=BC2,ABC是直角三角形，ZA=90,沿着点A到点C的方向平移到）尸的位置,:DE尸的面积=4 4 8。
的面积=X 3 X 4=6，D F=A C=3,图中阴影部分面枳为4,DC=n，故答案为：V 2 W 6.8.如图，在四边形 ABC/）中，AD=CD,ZADC=120,NCB4=60，B C=l,AB=3,则对角线8的长是【分析】把8C顺时针旋转120得到(；D B,过1A B 垂足为,得 8 0=8 D,ZCDB=ZADB,ZDAB=N C,再根据四边形内角和为360,得/ZM Q+N O C)一 180,从而得点B、人、B 三点在同一条直线上，再通过等量代换得/BO B =120,进一步得NB=/O B A=3 0，再根据三角函数求出对角线BO的长.【解答】解：把8CQ绕顺时针旋转120得到(?D B,过作 O_LA3垂足为H,:./XBCD9丛B C D,:,BD=B D,ZCDB=ZADB,/D A B =N C,B 四边形内角和为3 6 0 ,N C+N C 8 4+N B A Z H N C D 4 =3 6 0 ,V Z/D C=1 2 0 ,Z C B A=6 0 0 ,N C+N B 4 O=1 8 0 .：.Z B AD+Z D C B =1 8 0 ,点 氏A、B 三点在同一条直线上，Z A D C=NAD B+NB D C=/AD B+NAD B=Z B D B,=1 2 0 ,:B D=D B ,：4B =N OB 4=3 0 ,:B B =B A+AB =4,D HLAB,B D=D B ,:D H=2,在 R lAB D H 中，c o s N A 8 Q=目1,B D3故答案为：生旦.3考 向三：勾股定理与弦图、拼图【方法提炼】勾股定理与弦图：牵涉到弦图时，所用的直角三角形皆是全等直角三角形，证明时般依据面枳相等来列式得结论；勾股定理与拼图：多考察七巧板的变形，注意各个七巧板组成间的等量线段，再结合勾股定理来计算即可。
同步练习】1.（2 0 2 1秋无锡期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼。