基本形体及其表面的交线

第3章 基本形体及其表面的交线3.1 三视图的形成及投影规律 3.2 平面形体的三视图及其表面取点 3.3 曲面形体的三视图及其表面取点 3.5 两回转体表面相交 3.1 三视图的形成及投影规律3.1.1 三视图的形成3.1.2 三视图的投影规律3.1.1 三视图的形成 根据有关标准和规 定，用正投影法绘制出的 物体的投影图，称为视图 如图所示，将物体 置于三投影面体系中，按 正投影法分别向三个投影 面投射，便可得到物体的 三面投影，常称它们为三 面视图，简称三视图 三投影面的展开三视图中不必画投影轴， 也不必标注视图名称左视图：将物体由左向右向侧投影面投射得到的视图90°90°（主视图）（俯视图）（左视图）主视图：将物体由前向后向正投影面投射得到的视图 俯视图：将物体由上向下向水平投影面投射得到的视图三视图中常用的线型有三种：粗实线细点画线细虚 线粗实线——表示物体的可见轮廓线 细虚线——表示物体的不可见轮廓线细点画线——表示物体的对称中心线、 回转体的轴线3.1.2 三视图的投影规律 1. 三视图的相对位置 以主视图为准，俯视图在主视图正下方，左视图在主 视图正右方绘制三视图时，必须按以上位置配置三视图,不能随意变动。

2. 三视图的“三等”规律 主、俯视图长对正； 主、左视图高平齐； 俯、左视图宽相等 需要特别注意的是：无论是物体的总体尺寸还是某一局部 的尺寸都要符合“三等”规律3.视图与物体的方位关系物体有上、下、左、右、前、后六个方位后后前前右左上下左右上下3.2 平面形体的三视图及其表面取点3.2.1 棱柱3.2.2 棱锥及棱锥台3.2.1 棱柱棱柱的顶面和底面是两个形状相同且互相平行的多边 形，各侧面都是矩形(称直棱柱)或平行四边形(称斜棱柱)，顶 面和底面为正多边形的直棱柱则称为正棱柱1. 棱柱的三视图俯视图反映了正六边形 顶面和底面的实形，其中每 条边又都是侧面的积聚投影 ；主视图反映了前、后侧 面的实形；主视图和左视图反映了 四个铅垂面的类似形，其中 上、下两条直线分别是六棱 柱的顶面和底面的积聚性投 影，其余则是棱线的投影( 反映实长)画棱柱三视图的步骤如下：直棱柱三视图的特性：一个视图反映棱 柱的顶面和底面的实形 ，另两个视图都是由实 线或虚线组成的矩形线 框1)画顶面和底面的各面 投影，从反映顶面和底 面实形的视图画起2)画侧棱线的各面投影 ，不可见轮廓的投影画 成虚线例：已知正六棱柱 的表面上的M点的 m′，N点的n″,求各 点的另两面投影。

n′）n2. 棱柱表面上的点的投影当点在形体的表面上时，点的投影必在它所从属的表面的同 面投影范围内若该表面为可见，则表面上的点的同面投影也可 见；反之，为不可见mm″3.2.2 棱锥及棱锥台 棱锥的底面为多边形，各侧面为具有公共顶点的三角 形从棱锥顶点到底面的距离叫做棱锥的高当棱锥的底面为 正多边形、各侧棱相等时，该锥体称为正棱锥正棱锥的各侧 面为等腰三角形1. 棱锥的三视图 绘制棱锥三视图的步骤 如下： 1)画底面的各面投影 2)作锥顶的各面投影，并 同时将它与底面的各顶 点的同面投影相连，不 可见轮廓画成虚线棱锥三视图的特征是：一个视图反映棱锥的 底面的实形，另两个视图 都是由实线或虚线组成的 有公共交点的三角形例：已知棱锥表面上的M 、N点的正面投影m′、 n′,求 M、N点的另两面投影取点时，点对于特 殊位置平面（如N点） ，可 直接利用平面投影的积聚性 来作图对于一般位置平面 （如M 点） ，则应利用在 平面上取点 的方法（辅助 线法）来作图n′)m′mm″n″n2. 棱锥表面上的点的投影棱锥台可看成由平行 于棱锥底面的平面截去棱锥 的锥顶部分而形成的，其顶 面和底面为互相平行的相似 多边形，侧面为梯形。

由正 棱锥截得的称为正棱台，其 侧面为等腰梯形作棱锥台的三视图的 方法：一般先作棱锥台的顶 面与底面的投影，再连接各 侧棱线完成三视图也可先 画棱锥的三视图，再作棱锥 台顶面的投影，最后檫去多 余图线3. 棱锥台3.3 曲面形体的三视图及其表面取点3.3.1 圆柱3.3.2 圆锥及圆锥台3.3.3 圆球3.3.4 圆环3.3.1 圆柱 圆柱由圆柱面和顶、底平面组成1. 圆柱面的形成圆柱面可看成是由一条直母线，围绕与它平行的轴线回转 而成母线的任一位置称为圆柱面的素线圆柱的俯视图是一个 圆形线框，它是圆柱面在水平 面上的积聚投影，也反映了顶 、底平面的实形画三视图：1)用细点画线画出轴线和 圆 的对称中心线；2)画投影为圆的视图；3)画其余两个视图 2. 圆柱的视图及其分析例：已知圆柱面上 的M点的正面投影m′, 求M点的其他两面投 影作图： 1）利用 圆柱面水平投 影的积聚性求 出m； 2）求m″ ， m″ 不可见 m′（m ″ ）m3. 圆柱表面取点3.3.2 圆锥及圆锥台 1. 圆锥面的形成圆锥面可看成是由一条直母线，围绕 与它相交的轴线回转而成，母线的任一位置 称为圆锥面的素线 圆锥由圆锥面和底平面组成。

如图所示，圆锥的俯 视图是一个圆形线框， 主、左视图是两个等腰三角 形，主、左视图三角形的两 腰分别是圆锥最左、最右素 线和最前、最后素线的投影 画圆锥的三视图： 1）用细点画线 画出轴线和圆的对称 中心线； 2）画出投影为 圆的视图； 3）画出其余两 个视图 2. 圆锥的视图及其分析(1)辅助素线法利用圆锥面素线来求点 的投影的方法称为辅助素线法例： 已知圆锥面上的M点投 影m′，求它的其他两面投影在主视图上，过锥顶s′ 和m′作一辅助线,并将其延长与 底平面的正面投影相交, 作出其H 面投影 ,再由m′根据点的投影关 系求出m、m“ 由于M点在左半 个圆锥面上位置，故m、m“均可 见 3. 圆锥表面取点m′mm“1′1M(2)辅助圆法在圆锥面上可以作 出无数个垂直于轴线的圆， 利用这些圆来求点的投影的 方法称为辅助圆法p ′）p ″p圆锥台可看成由平行 于圆锥底面的平面截去锥顶部 分而形成的圆锥台视图的绘制及 表面取点的方法与圆锥基本相 同值得注意的是当用辅助素 线法取点时一定要过原圆锥的 锥顶作辅助素线3.圆锥台3.3.3 圆球 1. 圆球面的形成圆球面可看成是由一个圆作母线，以其直径为轴线回转而 成。

在母线上任一点的运动轨迹均是一个圆点在母线上的位置 不同，其圆的直径也不相同 2. 圆球的视图及分析圆球的三个视图都是圆 ，其直径为圆球直径但这三 个圆并非球面上同一个圆的投 影，而是圆球面上三个方向上 的转向轮廓线的投影当点位于转向轮廓线圆时， 可直接作出其投影如图中的 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ点3. 圆球面上取点在圆球表面上，过任意一点可以作出无数个圆，但考虑作图简 便，应选择过球面上已知点作平行于投影面的辅助圆来作图 例：已知圆球面上的M点 的V面投影m ′，求M点的 其他两面投影在球面上过M点作平 行于V面的辅助圆的方法 求点过m作辅助圆的H 面投影，作出圆的V面投 影，按点的投影规律作 出m和m“mm ′mm“3.3.4 圆环1. 圆环面的形成圆环面可看成是由一个圆作母线，以其同平面但位于圆周之外的 直线为轴线回转而成圆环外面的一半表面称为外环面，里面的一半表 面称为内环面 2. 圆环的视图及分析圆环的俯视图有直径不等的三个同心圆，其中直径最大和最小的 轮廓线圆是环面上的最大圆和最小圆的投影点画线圆是母线圆心轨迹 的投影3. 圆环面上的点的投影圆环面上的特殊点的投影可直接作出，如图中的E点。

圆环面上的一般点的投影要通过作辅助圆来求，如图中的M点m ′m m″ ee″e ′3.4 平面与形体表面相交3.4.1 平面与平面形体相交3.4.2 平面与曲面形体相交1)截交线是截平面与形体表 面的共有线，截交线上的点是 截平面与形体表面的共有点；2)由于形体是有一定的范围 的，因此截交线应为封闭的平 面图形 截交线具有下列基本性质：工程上常会遇到这样的机件，它的结构是由基本形体被 截平面截去一部分或几部分而成的截平面与基本形体表面的交线称为截交线3.4.1 平面与平面形体相交 平面形体的表面是由 若干个平面图形所组成的 ，所以它的截交线均为封 闭的、直线段围成的平面 多边形1)用一个截平面截切平面 形体时：截交线的每一条边 都是棱面与截平面的交线 ，各顶点都是棱线与截平 面的交点2)用多个截平面组合截切平面 形体时：切口由多个相交的截断 面组成，相邻两个截断面的交线 的端点也是形体表面截交线的端 点，故它们都在形体的表面上求截交线的投影就是利 用形体表面取点的方法求出截交 线上各顶点的投影，然后依次连 接，完成作图 例：已知切口的正面投 影，完成被切正四棱柱 的三视图作图： 1)求出截断面各顶点的 正面投影； 2)求出各点的水平投影 、侧面投影； 3)整理轮廓线； 4)判别可见性，连接同 面投影。

例：已知切口的正面投影，完成带切口的正三棱锥的三视图作图：1)求切口水平面的各顶点：作辅助平面P来求 2)求切口侧平面的顶 点 3)整理轮廓线 4)判别可见性， 依次连接切口的各面投影3.4.2 平面与曲面形体相交1. 圆柱的截交线截平面⊥圆柱轴线截平面∥圆柱轴线截平面∠圆柱轴线圆椭圆素线例：完成被正垂面截切后的 圆柱的三视图截交线的正面投影积聚 成直线；俯视图中圆柱面的投影 具有积聚性，故截交线的水平 投影与圆柱面的积聚投影重合 侧面投影一般情况下为 椭圆，其长短轴要根据截平面 与轴线的夹角而定(特殊情况即 截平面与轴线的夹角为45°时， 左视图投影为圆) 作图： 1)求特殊点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、Ⅳ 2)求作 适当的一般 点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ 3)整理轮廓线 4)判断可见性，光滑 连接各点例：已知圆柱的两端被切，完成圆柱接头的三视图1.作凹槽的投影步骤：1)在左视图中作凹槽的积 聚性投影：两条粗实线 2)在俯视图中作凹槽的投 影3)槽底不可见部分的投影 用虚线绘制 4)擦去俯视图中被截去部 分的投影 2.作切口的投影2． 圆锥的截交线截平面∥任一圆锥表面素线 素线圆 双曲线 抛物线 椭圆 截平面过 圆锥顶点 截平面⊥圆柱轴线 截平面∠圆柱轴线 截平面∥圆柱轴线 作图：1)求特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。

2)求适当的一般点3)整理轮廓线，连接各点，完成全图 例：已知切口的侧面投影，完成被正平面截切的圆锥的三视图 3．圆球的截交线圆球被截平面截切后，其截 交线都是圆当截平面平行于某一 投影面时，截交线在该投影面上的 投影为圆的实形，在其他两投影面 上的投影都积聚为直线当截平面 为投影面垂直面(平面与投影面的 夹角不等于45°)时，截交线在该投 影面上的投影积聚为一直线，另两 面投影为椭圆 因截平面是正垂面 ，所以截交线的正面投影积 聚为直线，其水平投影和侧 面投影都是椭圆作图: 1)求特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ 2)求适当的一般 点Ⅶ、Ⅷ等 3)作截交线的水 平投影和侧面投影 4)并擦去俯视图 中被截去部分的投影 例：完成被正垂面截切的圆球的三视图开槽半圆球的槽的两侧面 是侧平面，它们与半圆球的截 交线为两段圆弧，侧面投影反 映实形；槽底是水平面，与半 圆球的截交线也是两段圆弧， 水平投影反映实形作图： 1)完成半圆球的三 视图 2)作矩形槽的水平 投影，R1由主视图所示 槽深决定 3)作矩形槽的侧面 投影，R2由主视图所示 槽宽决定槽底投影的 中间部分1″2″不可见， 应画成虚线。

例：已知主视图，完成开槽半圆球的三视图4． 组合回转体的截交线组合回转体是由若干个同轴的基本回转体组成，作 图时首先要分析各部分的曲面性质，然后按照它的几何特性 、与截平面的相对位置确定其截交线的形状，再逐个作出其 投影例：已知顶尖的主视图，完成三视图作图：1)作组合回转体的俯视 图、 左视图 2)作水平截平面的侧面 投影 3)作。