第13课 正方形目标导航课程标准1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2．掌握正方形的性质及判定方法．知识精讲知识点01 正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.注意：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.知识点02 正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.注意：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.知识点03 正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.知识点04 特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：知识点05 顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.注意：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.能力拓展考法01 正方形的性质【典例1】如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（ ）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，进而利用AAS可证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：如图，∵a、b、c都是正方形，∴AC=CD，∠ACD=∠ABC=∠DEC=90°，∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CED中，，∴△ACB≌△CDE（AAS），∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即Sb=Sa+Sc=1+9=10，∴b的面积为10，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．【即学即练】如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__．【答案】13【解析】【分析】本题是典型的一线三角模型，根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF＝DE、BF＝AE，所以EF＝AF+AE＝13．【详解】解：∵ABCD是正方形（已知）∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°又∵∠FAB+∠FBA＝∠FAB+∠EAD＝90°∴∠FBA＝∠EAD（等量代换）∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E∴在Rt△AFB和Rt△AED中∵ ∴△AFB≌△DEA（AAS）∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5（全等三角形的对应边相等）∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝13故答案为：13【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及熟悉一线三角模型是解本题的关键．【即学即练】如图所示，，，以为边作正方形，求，的坐标.【答案】；【解析】【分析】本题有、两个点都在坐标轴上，且正方形在坐标轴的同侧（基本上在第二象限），故只须过，两点分别向坐标轴作垂线即可. 作CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，证明△BCE≌△ABO，得出对应边相等BE=OA=1，CE=BO=3，同理得出DF=OA=1，AF=BO=3，再求出OE、OF，即可得出结果．【详解】解：作CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，如图所示：则∠CEB=∠AFD=90°，∴∠1+∠3=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，BC=AB，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，在△BCE和△ABO中，，∴△BCE≌△ABO（AAS），∴BE=OA=1，CE=BO=3，同理得：DF=OA=1，AF=BO=3，∴OE=4，OF=4，∴C（-3，4），D（-4，1）．【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及全等三角形的判定与性质；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．当正方形的部分点在坐标轴上，且整个正方形在坐标轴的同侧时，往往过另外的点向坐标轴作垂线，从而得到“形外三垂直”的基本图形.【典例2】矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等【答案】B【解析】【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．故选B．【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．【典例3】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为( )A．3 B．4 C． D．【答案】D【解析】【分析】先根据直角三角形的性质求出DE的长，再由勾股定理得出CD的长，进而可得出BE的长，由三角形中位线定理即可得出结论．【详解】∵CE=5，△CEF的周长为18， ∴CF+EF=18-5=13． ∵F为DE的中点，∴DF=EF． ∵∠BCD=90°， ∴CF=DE， ∴EF=CF=DE=6.5， ∴DE=2EF=13，∴CD=， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD=12，O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线， ∴OF=(BC－CE)=(12－5)=3.5， 故选D．【点睛】本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中．使用勾股定理是解决这个问题的关键．【典例4】如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作交于点，交于点．（1）证明：；（2）连接，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG=∠C=90°，AD=DC，∠DAG=∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB=FB．【详解】证明：（1）四边形是正方形，，又，，，（2）如图所示，延长交的延长线于，是的中点，，又，，，即是的中点，又，中，．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．【典例5】如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在△ABC的外部．(1)求证：BG＝CE；(2)求证：CE⊥BG；(3)求：∠AME的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得；（2）设、相交于点，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，根据垂直的定义可得；（3）过作，的垂线段交于点，，证明是角平分线可得答案．(1)解：证明：在正方形和中，，，，，即，在和中，，，；(2)解：证明：设、相交于点，，，，，；(3)解：过作，的垂线段交于点，，，，，，，是角平分线，，．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解题的关键是作辅助线，的垂线段是难点，运用全等三角形的性质也是关键．【典例6】如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上的一点，且∠AEF=90°，延长AE交BC的延长线于点G,（1）求GE的长；（2）求证：AE平分∠DAF；（3）求CF的长. 【答案】（1） （2）证明见解析（3）CF=1【解析】【详解】（1）解：在正方形ABCD中，∠D=90°，AD∥BC∴∠D=∠DCG=90°，∠DAE=∠G∵E是CD的中点∴DE=CE∴△ADE≌△GCE∴AD=CG ∵AD=DC=4∴CG=4，CE=2 在Rt△GCE中，GE=（2）证明：由（1）得：△ADE≌△GCE∴AE=GE∵∠AEF=90°∴EF垂直平分AG∴AF=GF∴∠FAE=∠G∵∠DAE=∠G∴∠FAE=∠DAE∴AE平分∠DAF （3）解：在正方形ABCD中∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=CD=DA=4∴DE=CE=2设CF=x，则BF=4-x 根据勾股定理得：AF2=AB2+ BF2=42+(4-x)2=32-8x+x2EF2=CF2+ CE2=x2+22= x2+4AE2=AD2+ DE2=42+22=20 在Rt△AEF中，AF2= EF2+ AE2∴32-8x+ x2= x2+4+20解得:x=1∴CF=1考法02 正方形的判定【典例7】在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解：A，不能，只能判定为矩形；B，不能，只能判定为平行四边形；C，能；D，不能，只能判定为菱形．故选C．【典例8】如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下见解析．【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；（2）利用等腰。
